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Ejercicio nº 1.-

 a)  Clasifica como naturales, enteros, racionales o irracionales los siguientes números:

 

 

b)  Representa sobre la recta los números:

 

 

 

Solución:

 

 

b)

 

 

 

 

Ejercicio nº 2.-

 

a)  Escribe en forma decimal:

 

b)  Expresa los siguientes números en forma de fracción irreducible:

 

 

 

Solución:

 

a)  Efectuamos la división en cada caso:

 

 

b)

 

 

 

 

Ejercicio nº 3.-

 

a)  Reduce a una sola fracción y simplifica:

 

 

b)  Simplifica:

 

 

 

Solución:

 

 

 

 

 

Ejercicio nº 4.-

 

En el trayecto de vuelta del trabajo a su casa, Antonio ha hecho dos paradas. Llevando  2/5  del camino, paró en la gasolinera y, cuando llevaba  1/3  más del camino, paró a comprar pan. Sabiendo que le faltan  11,2 km para llegar, ¿cuál es la distancia de su casa al trabajo?

 

 

Solución:

 

Lleva recorrido:

 

 

De su casa al trabajo hay  42 km de distancia.

 

 

 

Ejercicio nº 5.-

 

Un producto costaba, sin IVA,  34,52 €,  y lo han rebajado un  15%.  Sabiendo que el IVA es del  7%,  ¿cuál será su precio final con IVA?

 

 

Solución:

 

34,52 · 0,85 · 1,07 = 31,39594 » 31,40 €

 

 

 

Ejercicio nº 6.-

 

El precio de una cámara de fotos es de  145 €  ya aplicado el  16%  de IVA. ¿Cuánto cuesta la cámara sin IVA?

 

 

Solución:

 

Precio con IVA = 145 €

16%  de IVA   ®   I.V. = 1,16

El precio de la cámara sin IVA es de  125 €.

 

 

 

Ejercicio nº 7.-

 

El tercer término de una progresión geométrica vale  18,  y la razón es  3.  Calcula la suma de los siete primeros términos.

 

 

Solución:

 

a3 = a1 · r2  ®  18 = a1 · 9  ®  a1 = 2

a7 = a1 · r6 = 2 · 36 = 2 · 729 = 1 458  ®  a7 = 1 458

 

 

 

Ejercicio nº 8.-

 

Los lados de un cuadrilátero están en progresión aritmética. Sabiendo que el menor mide  2 cm y que el perímetro es de  15,2 cm, ¿cuánto miden los otros tres lados?

 

 

Solución:

 

Los lados del cuadrilátero miden:

 

a1 = 2,  a2 = 2 + d, a3 = 2 + 2d  y  a4 = 2 + 3d

 

Su suma (el perímetro) es igual a  15,2 cm; es decir:

 

2 + 2 + d + 2 + 2d + 2 + 3d = 15,2

8 + 6d = 15,2  ®  6d = 7,2  ®  d = 1,2 cm

 

Por tanto, los lados miden:

a1 = 2 cm

a2 = 2 + 1,2 = 3,2 cm

a3 = 3,2 + 1,2 = 4,4 cm

a4 = 4,4 + 1,2 = 5,6 cm

 

 

 

Ejercicio nº 9.-

 

El radio, elemento radiactivo, se descompone a razón del  4%  por siglo. Si inicialmente partimos de  1 kg de radio, ¿cuántos gramos habrá al cabo de  1 000  años?¿Y al cabo de 2 000  años?

 

 

Solución:

 

La cantidad de radio que hay en cada siglo es una progresión geométrica, en la que sabemos que  a1 = 1 000 g  y  r = 0,96 (Si se descompone el 4%, lo que queda es el 96%).

 

-  Al cabo de 1 000 años = 10 siglos, habrá:

1 000 · 0,9610 » 664,83 g

 

-  Al cabo de 2 000 años = 20 siglos, habrá:

1 000 · 0,9620 » 442 g

 

 

 

Ejercicio nº 10.-

 

De los siguientes números, indica cuáles son naturales, enteros, racionales o irracionales:

 

 

 

Solución:

 

 

 

 

Ejercicio nº 1.-

 

a)  De los siguientes números, indica cuáles de ellos son naturales, enteros, racionales e irracionales:

 

 

b)  Representa sobre la recta los números:

 

 

 

Solución:

 

 

b)

 

 

 

Ejercicio nº 2.-

 

a)  Expresa en forma decimal:

 

b)  Pasa a forma de fracción irreducible los números:

 

 

 

Solución:

 

a)  Efectuamos la división en cada caso:

 

 

b)

 

 

 

 

Ejercicio nº 3.-

 

a)  Calcula y simplifica el resultado:

 

 

b)  Reduce a una sola potencia:

 

 

 

Solución:

 

 

 

 

 

Ejercicio nº 4.-

 

En una reunión, la sexta parte son niños y niñas, las  2/5  partes son mujeres, y el resto son hombres. Si hay  156  hombres, ¿cuántas personas hay en la reunión?

 

 

Solución:

 

Entre mujeres y niños y niñas hay:

 

 

Es decir:

 

 

Hay  360  personas en la reunión.

 

 

 

Ejercicio nº 5.-

 

A una excursión cultural acuden  250 personas; el  53%  habla español, el  20%  inglés, el  15%  francés y el resto alemán. ¿Cuántos hablan alemán?

 

 

Solución:

 

Calculamos el tanto por ciento de personas que hablan alemán:

100 - 53 - 20 - 15 = 12

Hablan alemán el 12%.

12%  de  250 = 0,12 · 250 = 30

Hablan alemán 30 personas.

 

 

 

Ejercicio nº 6.-

 

La recaudación en una tienda durante la primera quincena de julio fue de  1 200 €;  en la segunda quincena recaudaron un  18%  más que en la primera; en la primera de agosto la recaudación descendió un  5%  con respecto a la quincena anterior y en la segunda aumentó un  5%  respecto a la primera. ¿Cuánto dinero recaudaron en la segunda quincena de agosto?

 

 

Solución:

 

1 200 · 1,18 · 0,95 · 1,05 = 1 412,46

En la segunda quincena de agosto recaudaron  1 412,46 €.

 

 

 

Ejercicio nº 7.-

 

El sexto término de una progresión aritmética vale  11,5;  y la diferencia es  1,5.  Halla el primer término y la suma de los quince primeros términos.

 

 

Solución:

 

a1 = a6 - 5d = 11,5 - 5 · 1,5 = 11,5 - 7,5 = 4  ®  a1 = 4

a15 = a1 + 14d = 4 + 14 · 1,5 = 4 + 21 = 25  ®  a15 = 25

 

 

 

Ejercicio nº 8.-

 

Rosa dice lo siguiente: esta semana ahorraré  1 €; la próxima,  1,2 €; la siguiente,  1,4 €, y así sucesivamente durante  15  semanas. Pasan las semanas, y Rosa cumple con su propósito. Acaba de echar en la hucha  3,2 €. ¿Cuántas semanas le quedan?

 

 

Solución:

 

a1 = 1;   a2 = 1,2;   a3 = 1,4;...;    a15  son los términos de una  progresión aritmética de diferencia

d = 0,2.

 

Veamos cuál es el término correspondiente a  3,2 €:

 

an = a1 + (n - 1) · d  ®  3,2 = 1 + (n - 1) · 0,2  ®  3,2 = 1 + 0,2n - 0,2

2,4 = 0,2n  ®  n = 12.

 

Lleva  12  semanas. Le quedan  3.

 

 

 

Ejercicio nº 9.-

 

Una ciudad tiene una población de  180 000  habitantes, y crece a un ritmo del  4%  anual. ¿Cuántos habitantes tendrá al cabo de  5  años? ¿y al cabo de  10  años?

 

 

Solución:

 

El número de habitantes que hay cada año forman una progresión geométrica, en la que sabemos que  a1 = 180 000  y  r = 1,04 (aumenta el 4% anual).

 

-  Al cabo de 5 años habrá:

180 000 · 1,045 = 218 997,5 » 218 998 habitantes

 

-  Al cabo de 10 años habrá:

180 000 · 1,0410 = 266 443,97 » 266 444 habitantes

 

 

 

Ejercicio nº 10.-

 

de  46,20 m  de larga. Calcula la longitud de cada trozo.

 

 

Solución:

 

Consideramos el primer trozo de cuerda como la unidad. Así:

 

Por tanto, la longitud del primer trozo es  7 · 4,20 = 29,40 m  y la longitud del segundo trozo es  4 · 4,20 = 16,80 m.

 

 

Ejercicio nº 1.-

 

a)  Dados los siguientes números, clasifícalos según sean naturales, enteros, racionales o irracionales:

 

 

b)  Representa los siguientes números sobre la recta:

 

 

 

Solución:

 

 

b)

 

 

 

 

Ejercicio nº 2.-

 

a)  Escribe en forma decimal:

 

b)  Escribe en forma de fracción irreducible:

 

 

 

Solución:

 

a)  Efectuamos la división en cada caso:

 

 

b)

 

 

 

 

Ejercicio nº 3.-

 

a)  Opera y simplifica el resultado:

 

 

b)  Reduce a una sola potencia y calcula:

 

 

 

Solución:

 

 

 

 

 

Ejercicio nº 4.-

 

Halla el perímetro de un rectángulo, sabiendo que la longitud de la base es de  43,2 cm y que la altura mide  3/5  de la base.

 

 

Solución:

 

Por tanto, el perímetro será:

 

P = 2 · (25,92 + 43,2) = 2 · 69,12 = 138,24 cm

 

 

 

Ejercicio nº 5.-

 

El  45%  de los habitantes de un lugar hacen la compra una vez por semana. De estos, el  35%  la hacen en un determinado supermercado. Si el total de habitantes del lugar es de 30 000 personas, ¿cuántos son los que compran en ese supermercado una vez por semana?

 

 

Solución:

 

30 000 · 0,45 · 0,35 = 4 725

 

Compran en ese supermercado una vez por semana  4 725 personas.

 

 

 

Ejercicio nº 6.-

 

A Guadalupe en su factura de luz, le aplican un recargo del  8%  sobre el coste total por exceso de consumo, y un descuento del  12%,  también sobre el total, por trabajar para la compañía. A la cantidad resultante se le aplica un  16%  de IVA. Si la cuota era de  105 €, ¿cuánto tendrá que pagar finalmente?

 

 

Solución:

 

105 · 1,08 · 0,88 · 1,16 = 115,75872 » 115,76

 

Pagará  115,76 €.

 

 

 

Ejercicio nº 7.-

 

Halla  la  suma  de los quince  primeros  términos  de una progresión aritmética en la que

a5 = 9,7  y  a9 = 17,7.

 

 

Solución:

 

a9 = a5 + 4d  ®  17,7 = 9,7 + 4d  ®  8 = 4d  ®  d = 2

a1 = a5 - 4d = 9,7 - 8 = 1,7  ®  a1 = 1,7

a15 = a1 + 14d = 1,7 + 28 = 29,7  ®  a15 = 29,7

 

 

 

Ejercicio nº 8.-

 

En un aparcamiento cobran  0,75 € por la primera hora, y  1,5 €  más por cada nueva hora.

 

a)  ¿Cuánto tendremos que pagar si dejamos el coche  6  horas?

b)  Halla una fórmula que nos dé el precio total por dejar el coche en el aparcamiento durante  n  horas.

 

 

Solución:

 

El precio que tendremos que pagar es una progresión aritmética con  a1 = 0,75 €  y  d = 1,5 €.

 

a)  a6 = a1 + 5d = 0,75 + 5 · 1,5 = 0,75 + 7,5 = 8,25 €

b)  an = a1 + (n - 1) · d = 0,75 + (n - 1) · 1,5 = 0,75 + 1,5n - 1,5 =

= 1,5n - 0,75  ®  an = 1,5n - 0,75

 

 

 

Ejercicio nº 9.-

 

¿En cuánto se convierten  1 500 € colocados al  3,5% de interés anual compuesto durante  3  años?¿Y durante  5  años?

 

 

Solución:

 

Durante  3  años:

1 500 · 1,0353 = 1 663,08 €

 

Durante  5  años:

1 500 · 1,0355 = 1 781,53 €

 

 

 

Ejercicio nº 10.-

 

Calcula pasando previamente a fracción:

 

 

 

Solución:

 

 

Sustituimos las fracciones obtenidas en la expresión inicial:

 

 

Ejercicio nº 1.-

 

a)  Indica cuáles de los siguientes números son naturales, enteros, racionales o irracionales:

 

 

b)  Representa sobre la recta estos números:

 

 

 

Solución:

 

 

b)

 

 

 

 

Ejercicio nº 2.-

 

a)  Expresa en forma decimal:

 

b)  Expresa en forma de fracción irreducible:

 

 

 

Solución:

 

a)  Efectuamos la división en cada caso:

 

b)

 

 

 

 

Ejercicio nº 3.-

 

a)  Efectúa y simplifica:

 

 

b)  Calcula:

 

 

 

 

Solución:

 

 

b)

 

 

 

 

Ejercicio nº 4.-

 

Un trabajador ha realizado las  2/7  partes de un encargo; otro realizó  2/5  partes, y un tercero lo terminó. Si les pagan en total  1 008 €, ¿cuánto le corresponderá a cada uno?

 

 

Solución:

 

 

 

 

Ejercicio nº 5.-

 

En unos zapatos de  65 €  nos aplican un descuento del  15%.  Calcula el precio que pagamos por los zapatos.

 

 

Solución:

 

Si nos descuentas el  15%   ®   pagamos el  85%

85%  de  65 = 0,85 · 65 = 55,25

Pagamos por los zapatos  55,25 €.

 

 

 

Ejercicio nº 6.-

 

Se han pagado  1 202 €  por un ordenador. Si el IVA aplicado ha sido del  16%.  ¿Cuál era el precio inicial del ordenador?

 

 

Solución:

 

Precio final = 1 202 €

Subida de un  16%    ®  Índice de variación = 1,16

Precio inicial · 1,16 = 1 202   ®  Precio inicial = 1 202 : 1,16 » 1 036,21 €

El precio inicial del ordenador era de 1 036,21 €.

 

 

 

Ejercicio nº 7.-

 

En una progresión aritmética, sabemos que  a3 = -4  y  a7 = -16. Halla el término general y calcula la suma de los  25  primeros términos.

 

 

Solución:

 

a7 = a3 + 4d  ®  -16 = -4 + 4d  ®  -12 = 4d  ®  d = -3

a1 = a3 - 2d = -4 + 6 = 2  ®  a1 = 2

an = a1 + (n - 1) · d = 2 + (n - 1) · (-3) = 2 - 3n + 3 = 5 - 3n  ®  an = 5 - 3n 

a25 = 5 - 3 · 25 = 5 - 75 = -70

 

 

 

Ejercicio nº 8.-

 

Sobre un depósito que contenía una cierta cantidad de agua, se ha abierto un grifo de caudal constante. A los  5  minutos, el depósito contiene  372  litros, y a los  18  minutos, contiene  697  litros. Calcula la cantidad inicial de agua, el caudal del grifo y la cantidad de agua que habrá cuando se cierre el grifo, media hora después de abrirlo.

 

 

Solución:

 

Si consideramos la cantidad de agua que hay en cada minuto, tenemos una progresión aritmética en la que:

 

a1 = cantidad inicial de agua

d = caudal del grifo (en litros por minuto)

a6 = 372 (agua que hay a los  5  minutos)

a19 = 697 (agua que hay a los  18  minutos)

 

Buscamos  a1, d  y  a31.

 

a19 = a6 + 13d  ®  697 = 372 + 13d  ®  325 = 13d  ®  d = 25

a1 = a6 - 5d = 372 - 5 · 25 = 372 - 125 = 247  ®  a1 = 247

a31 = a1 + 30d = 247 + 30 · 25 = 247 + 750 = 997  ®  a31 = 997

 

Inicialmente había  247  litros; el caudal es de  25  l/min, y cuando se cierre el grifo, media hora después de abrirlo, habrá  997  litros de agua.

 

 

 

Ejercicio nº 9.-

 

a)  ¿Cuánto dinero tendremos al cabo de  3  años colocando  2 500 € al  4%  de interés anual compuesto?

 

b)  ¿Y al cabo de  5  años?

 

 

Solución:

 

a)  2 500 · 1,043 = 2 812,16 € tendremos al cabo de 3 años

b)  2 500 · 1,045 = 3 041,63 € tendremos al cabo de 5 años

 

 

 

Ejercicio nº 10.-

 

Calcula y simplifica el resultado:

 

 

 

Solución:

 

 

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