Ejercicio nº 1.-

 

a) Efectúa y simplifica:

 

 

b) Calcula el cociente y el resto:

 

 

 

Solución:

 

 

 

Cociente = 2x - 1

Resto = -2x + 3

 

 

 

Ejercicio nº 2.-

 

Consideramos el polinomio  P(x) = 7x4 - 2x3 + 3x2 + 1.

 

a) Halla el cociente y el resto de la división:

 

P(x) : (x + 2)

 

b) ¿Cuánto vale  P(-2)?

 

 

Solución:

 

 

Cociente =  7x3 - 16x2 + 35x - 70

Resto =  141

 

b) Por el teorema del resto sabemos que  P(-2) = resto, por tanto:  P(-2) = 141.

 

 

 

Ejercicio nº 3.-

 

Factoriza el siguiente polinomio:

 

x4 + 3x3 - 10x2

 

 

Solución:

 

Sacamos factor común:

 

 

Buscamos las raíces de  x2 + 3x - 10  resolviendo la ecuación:

 

 

Por tanto:

 

 

 

 

Ejercicio nº 4.-

 

Simplifica la fracción:

 

 

 

Solución:

 

 

 

 

Ejercicio nº 5.-

 

Realiza las siguientes operaciones y simplifica:

 

 

 

Solución:

 

 

 

 

Ejercicio nº 6.-

 

Resuelve estas ecuaciones:

 

 

 

Solución:

 

 

 

 

 

 

 

Cambio:  x2 = z   ®   x4 = z2

z2 – 21z – 100 = 0

 

 

Dos soluciones: x1 = -5,  x2 = 5

 

 

 

Ejercicio nº 7.-

 

Resuelve:

 

 

 

Solución:

 

 

Comprobación:

 

Hay una solución:  x = -1

 

 

 

 

 

 

 

Ejercicio nº 8.-

 

Resuelve esta ecuación:

 

 

 

Solución:

 

Factorizamos:

 

 

 

 

Por tanto, las soluciones de la ecuación son:

 

 

 

 

Ejercicio nº 9.-

 

La raíz cuadrada de la edad de Marta coincidirá con la que tenga su hija dentro de 2 años. Calcula la edad de cada una sabiendo que la suma de las edades de ambas es 40.

 

 

Solución:

 

 

®   x2 – 85x + 1 764 = 0

 

Marta tiene 36 años y su hija 4 años.

 

 

 

Ejercicio nº 10.-

 

Resuelve analíticamente el siguiente sistema de ecuaciones e interpreta gráficamente la solución:

 

 

 

Solución:

 

–  Resolvemos analíticamente el sistema:

 

 

 

Solución: x = 1;   y = 4

 

–  Interpretación gráfica:

 

 

 

 

Ejercicio nº 11.-

 

Resuelve el siguiente sistema:

 

 

 

Solución:

 

 

 

 

 

Ejercicio nº 12.-

 

Un comerciante compró dos artículos por 30 euros y los vendió por 33,9 euros. En la venta del primer artículo obtuvo un 10% de beneficio y en la venta del segundo artículo ganó un 15%. ¿Cuánto le costó cada uno de los artículos?

 

 

Solución:

 

Llamamos  x  al precio del primer artículo e  y  al precio del segundo. Así:

 

El primer artículo le costó 12 euros y el segundo, 18.

 

 

 

Ejercicio nº 13.-

 

Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones:

 

 

 

Solución:

 

 

 

 

Las soluciones del sistema son las soluciones comunes a las dos inecuaciones, es decir:

 

{x < 2  y  x > -7} = {x / -7 < x < 2} = (-7, 2)

 

 

 

Ejercicio nº 14.-

 

Resuelve:

 

 

 

Solución:

 

3x + y ³ 2  es lo mismo que  3x + y - 2 ³ 0.

 

Sustituyendo (2, 1) en la desigualdad  3x + y ³ 2,  vemos que la cumple: 3 · 2 + 1 ³ 2.

 

Además,  x £ 2  corresponde a los puntos que se sitúan a la izquierda de la recta  x = 2 (o sobre ella).

 

Tomando las soluciones comunes a las dos desigualdades, llegamos al recinto solución del sistema (la parte coloreada y las semirrectas que lo limitan):

 

 

 

 

Ejercicio nº 15.-

 

Resuelve gráficamente:

 

 

 

Solución:

 

Representamos la recta 3x + y = 6.

 

 

Si tomamos el punto (0, 0) y lo sustituimos en la inecuación 3x + y £ 6 vemos que se verifica   (3 · 0 + 0 = 0 £ 6).

 

Luego la solución de ésta inecuación es el semiplano que contiene a ese punto.

 

Representamos la recta  x + y = 4.

 

 

En este caso el punto (0, 0) no cumple la inecuación  x + y = ³ 4 (0  4). Por tanto, la solución es el semiplano que no contiene a este punto.

 

La inecuaciones  x ³ 0, y ³ 0 nos limitan al 1er cuadrante.

 

La zona sombreada es la solución común al sistema de inecuaciones.