Ejercicio nº 1.-
a) Desarrolla y
simplifica:
b) Obtén el cociente y
el resto de la división:
Solución:
Cociente = 5x2
- 13
Resto = 2x + 26
Ejercicio nº 2.-
Consideramos el
polinomio P(x) = 3x5 + 2x3 - 2x2 - 3x + 4.
Calcula el cociente y
el resto de la división P(x) : (x + 1). ¿Que valor
tendrá P(-1)?
Solución:
Aplicamos la
regla de Ruffini:
Cociente = 3x4
- 3x3 + 5x2 - 7x + 4
Resto = 0
Por el
teorema del resto: P(-1) = r. En
este caso r = 0, luego P(-1) = 0
Ejercicio nº 3.-
Descompón en factores
el siguiente polinomio:
Solución:
Sacamos
factor común:
Ejercicio nº 4.-
Simplifica:
Solución:
Ejercicio nº 5.-
Opera y simplifica:
Solución:
Ejercicio nº 6.-
Resuelve las siguientes ecuaciones:
Solución:
Cambio: x2 = z ® x4
= z2
z2 – 4z
+ 3 = 0
Ejercicio nº 7.-
Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones:
Solución:
Comprobación:
Hay una solución: x
= 2
Ejercicio nº 8.-
Resuelve, factorizando previamente:
Solución:
Factorizamos:
Por tanto, las soluciones de la ecuación son:
Ejercicio nº 9.-
Averigua un número sabiendo que la suma del doble de
su inverso más el triple de dicho
Solución:
Llamamos x al número buscado y planteamos la ecuación:
Ejercicio nº 10.-
Halla la solución del siguiente sistema, analítica y
gráficamente:
Solución:
– Resolvemos el sistema analíticamente:
2x + 3y = 18 ® 2x + 3(8 - x) = 18 ® 2x
+ 24 - 3x
= 18 ® -x = -6 ® x
= 6
y = 8 – x
= 8 - 6 = 2
Solución: x = 6; y
= 2
– Interpretación gráfica:
Estas dos rectas se
cortan en el punto (6, 2).
Ejercicio nº 11.-
Halla las soluciones de este sistema:
Solución:
Hay una solución: x = 1; y = 4
Ejercicio nº 12.-
Alberto compró 3 bolígrafos
y 2 cuadernos, pagando en total 2,9 euros. Una semana después, los bolígrafos
tenían un 20% de descuento y los cuadernos, un 15%. Si los hubiera comprado con
estas rebajas, habría tenido que pagar 2,42 euros. ¿Cuánto le costó a Alberto
cada bolígrafo y cuánto cada cuaderno?
Solución:
Llamamos x al precio de cada bolígrafo e y
al precio de cada cuaderno, antes de la rebaja.
Así:
Antes de la rebaja, cada bolígrafo costaba 0,3 euros y
cada cuaderno, 1 euro.
Ejercicio nº 13.-
Resuelve e interpreta gráficamente la inecuación:
2x + 1 > -5
Solución:
– Resolvemos la inecuación:
2x + 1 > -5 ® 2x > -6 ® x > -3
Soluciones: {x
/ x > -3} = (-3, +¥)
– Interpretación
gráfica: para valores de x mayores que -3, la recta y = 2x + 1 va por
encima de la recta y = -5. Es
decir, 2x + 1> -5.
Ejercicio nº 14.-
Resuelve:
3x + 2y £ 1
Solución:
3x + 2y £ 1 es los mismo que 3x + 2y - 1 £ 0.
Tomamos un punto cualquiera, por ejemplo, (0, 0).
Vemos que cumple la desigualdad:
3 · 0 + 2 · 0 £ 1
Por tanto, las
soluciones de la inecuación 3x + 2y £ 1 son todos los puntos de
la región señalada, incluida la recta:
Ejercicio nº 15.-
Tres sastres pagan por
un lote de piezas iguales de tela 3 570 €. El primero se queda
con 2 piezas y el segundo, que se queda con 2 piezas menos que el tercero, paga
1 275 €. Calcula el número de piezas de tela y el dinero
que paga cada uno de los sastres.
Solución:
El
primer sastre compra 2 piezas de tela.
El
segundo sastre compra x - 2 piezas
de tela.
El
tercer sastre compra x piezas de tela.
Total de piezas de tela = 2 + x - 2 + x = 2x
Precio de una pieza · Número de piezas que compra el 2.º = 1 275 ®
® 3 570x
- 7 140 = 2 550x ® 1020x = 7 140 ® x = 7
El primer sastre compra 2 piezas de tela y paga 510 €;
el segundo compra 7 - 2 = 5 piezas y paga 1 275 €, y el tercer sastre
compra 7 piezas y paga 1 785 €.