Matemáticas II Julio
2016
BAREMO DEL EXAMEN: Se elegirá sólo
UNA de las dos OPCIONES, A o B, y se han de hacer los tres problemas de esa
opción.
Cada problema se puntuará hasta 10
puntos.
La calificación del ejercicio será
la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 3 y aproximada a
las centésimas.
Se permite el uso de calculadoras siempre
que no sean gráficas o programables, y que no puedan realizar cálculo simbólico
ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los
resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar siempre debidamente
justificados.
OPCIÓN A
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PROBLEMA A.1.
Se da el sistema |
|
donde a es un
parámetro real. |
,Obtener
razonadamente, escribiendo
todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)
La solución del sistema cuando a = 0. (3 puntos)
b) El valor de a para el que
el sistema es incompatible. (3 puntos)
c)
Los valores del parámetro para los que el sistema es
compatible y determinado (2
puntos)
y obtener la
solución del sistema en función del parámetro
a. (2 puntos)
PROBLEMA A.2. Se dan los puntos
A = (0,0,1), B = (1,0,-1),
C = (0,1,-2) y D = (1,2,0).
Obtener
razonadamente, escribiendo
todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)
La
ecuación del plano
π que contiene a los puntos
A, B y C. (3
puntos)
b)
La justificación
de que los cuatro puntos A, B, C y D, no
son coplanarios. (2
puntos)
c)
La distancia del punto
D al plano
π, (2 puntos)
y el volumen del tetraedro cuyos vértices son A, B, C y D. (3 puntos)
|
PROBLEMA A.3.
Se da la función f definida por |
|
donde x es un número |
,real
cualquiera y ½x½ representa el valor absoluto
de x. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento
utilizado:
a)
El
punto o puntos donde la gráfica de la función
f corta a los ejes de coordenadas. (2
puntos)
b) La
justificación de que la curva y = f(x) es simétrica respecto al eje de ordenadas. (1
punto)
c)
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la
función f, (2 puntos)
y el extremo relativo de la función f, justificando si es máximo o mínimo. (1
punto)
d) La representación gráfica de dicha curva y
= f(x).
(1
punto)
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e) |
Las integrales definidas |
|
(1,5 + 1,5 puntos) |
OPCIÓN B
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PROBLEMA B.1.
Se dan las matrices |
|
Obtener
razonadamente, escribiendo todos los pasos del
razonamiento utilizado:
|
a) |
El determinante de las
matrices |
|
|
b) |
Las matrices |
|
|
|
c) |
La solución de la ecuación
matricial A . X + B . X = 3 I. |
|
(3
puntos) |
PROBLEMA B.2. Se dan los planos
π: x + y + z
= 1 y
s: a x + b y +
z = 0, donde a y b son dos parámetros reales.
Obtener
razonadamente, escribiendo
todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)
Los valores de a y b para los que el plano
s pasa por el punto (1,2,3) y, además dicho plano s es
perpendicular al plano π. (3
puntos)
b)
Los valores
de a
y b
para los cuales sucede que el
plano s pasa por
el punto (0,1,1) y la distancia
del punto (1,0,1) al plano s es 1. (3
puntos)
c)
Los valores de a y b para los que la intersección de los planos
π y s es la
recta r para la que el vector
(3,2,-5) es un vector director de dicha recta r, (3 puntos)
Y obtener las coordenadas de un punto cualquiera de la
recta r. (1
punto)
PROBLEMA B.3. La diferencia
de potencial x entre dos puntos de un
circuito eléctrico provoca el paso de una corriente eléctrica de
intensidad y, que está relacionada con la diferencia de potencial x por la ecuación y = – x2 – x + 6, siendo 0 £ x £ 2.
Obtener
razonadamente, escribiendo
todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)
La gráfica de la función
f(x)
= –
x2 – x + 6 (3
puntos)
y deducir, gráfica o analíticamente, el valor de la intensidad y cuando la diferencia de potencial x es
0 y el valor de la diferencia de
potencial x al que corresponde una
intensidad y igual a 0, siendo 0 £ x £ 2. (1
punto)
b)
El valor de la
diferencia de potencial x
para el que es máximo el producto
y × x de la intensidad y por la diferencia de potencial x,
cuando 0 £ x £ 2, (2 puntos)
y obtener el valor máximo de dicho producto
y × x , cuando 0 £ x £ 2, (1
punto)
c)
El área de la superficie
situada en el primer cuadrante limitada por la curva y =
f(x), el eje de abscisas y el eje de
ordenadas. (2
puntos)