Matemáticas II Julio
2017
BAREMO DEL EXAMEN: Se elegirá sólo
UNA de las dos OPCIONES, A o B, y se han de hacer los tres problemas de esa
opción.
Cada problema se puntuará hasta 10
puntos.
La calificación del ejercicio será
la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 3 y aproximada a
las centésimas.
Se permite el uso de calculadoras siempre
que no sean gráficas o programables, y que no puedan realizar cálculo simbólico
ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los
resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar siempre debidamente
justificados.
OPCIÓN A
PROBLEMA A.1.
Sean A y B
dos matrices cuadradas de orden
3 tales que A2
= – A – I y
2 B3 = B, siendo |
|
la matriz identidad. |
Obtener
razonadamente, escribiendo
todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)
La justificación de que la matriz A es invertible
(2 puntos) y el cálculo de la matriz A3
en función de A y de I (2
puntos).
b) Los valores posibles del determinante de B. (3
puntos)
c)
El valor del determinante de la matriz B2, sabiendo que la
matriz B tiene inversa
(2 puntos).
PROBLEMA A.2.
Se dan la recta |
|
y el plano π:
2 x + y + m z = n. |
Obtener
razonadamente, escribiendo
todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)
Los valores de m
y n para los que la recta r y el
plano π se cortan en un punto.
(3 puntos)
b)
Los valores
de m y n
para los que la recta r
y el plano π no se cortan.
(3´5 puntos)
c)
Los valores
de m y n
para los que la recta r
está contenida en el plano π.
(3´5 puntos)
PROBLEMA A.3. Se consideran las curvas y = x3, y = a x y la
función f(x) = x3 – a x, siendo a un parámetro real y a > 0. Obtener razonadamente,
escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)
Los puntos de corte de la curva y =
f(x) con los ejes coordenados y los
intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función f . (1 + 2 puntos)
b) La gráfica de la función f cuando a
= 9. (3 puntos)
c)
Calcular en función del parámetro a,
el área de la región acotada del primer cuadrante encerrada entre las
curvas y = x3 e y = a x,
cuando a > 1. (2 puntos)
d) El valor del parámetro
a para el que el área obtenida
en el apartado c) coincide con el área de la región acotada comprendida
entre la curva y = x3, el
eje OX
y las rectas
x = 0
y x = 2. (2 puntos)
OPCIÓN B
PROBLEMA B.1.
Se consideran las matrices |
|
Obtener
razonadamente, escribiendo todos los pasos del
razonamiento utilizado:
a)
La justificación de que A tiene matriz inversa y el cálculo de dicha
inversa A-1.
(2 + 2 puntos)
b)
La justificación
de que A4 = I. (2 puntos)
c)
El cálculo de las
matrices A7, A30 y A100. (4
puntos)
PROBLEMA B.2.
Se dan la recta |
|
y el plano π:
2 x – y + b z = 0, |
siendo a y b son dos parámetros reales.
Obtener
razonadamente, escribiendo
todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)
El punto de intersección de la recta r y el plano
π cuando
a = – b = 1. (2´5
puntos)
b)
La distancia
entre la recta r y el plano π cuando
a = b = 4. (2´5
puntos)
c)
La posición relativa de la recta r y del plano
π en función de los valores de los
parámetros a y b. (5 puntos)
PROBLEMA B.3. Se considera
el triángulo T de vértices O = (0, 0) , A = (x, y) y B = (0, y), siendo x > 0, y
> 0, y tal que la suma de las longitudes de los lados OA y AB es 30 metros.
Obtener
razonadamente, escribiendo
todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)
El área del
triángulo T en función de x. (3
puntos)
b)
El valor de x para el que dicha área es máxima. (5 puntos)
c)
El valor de dicha
área máxima. (2 puntos)