Matemáticas II Julio
2020
BAREMO DEL EXAMEN: El alumno elegiré
solo TRES problemas entre los seis propuestos.
Cada problema se puntuará hasta 10
puntos.
La calificación del ejercicio será
la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 3 y aproximada a
las centésimas.
Se permite el uso de calculadoras siempre
que no sean gráficas o programables, y que no puedan realizar cálculo simbólico
ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los
resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar siempre debidamente
justificados.
PROBLEMA 1.
Dado el sistema de ecuaciones |
|
, siendo |
a un |
parámetro
real. Obtener razonadamente, escribiendo
todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)
El estudio del sistema en función del parámetro a. (5
puntos)
b) Las soluciones del sistema cuando a =
– 2. (3 puntos)
c)
La solución del sistema cuando a =
0. (2
puntos)
PROBLEMA 2.
Sea la recta |
|
y los puntos
P = ( 1, 0, 0 ) y Q = ( 2, 1, a )a |
Obtener razonadamente, escribiendo todos
los pasos del razonamiento utilizado:
a)
El valor de a para que la
recta que pasa por P y
Q sea paralela a r. (3
puntos)
b)
La ecuación del
plano que contiene a P y
Q y es paralelo a r, cuando a = 1. (3 puntos)
c)
La distancia del punto
Q al plano que pasa por P y es
perpendicular a r, cuando a = 1. (3 puntos)
PROBLEMA 3.
Se da la función real f
definida por |
|
. |
Obtener razonadamente, escribiendo todos
los pasos del razonamiento utilizado:
a)
El dominio y las asíntotas de la función f.
(3 puntos)
b) La integral |
|
así como la primitiva
de f(x) cuya gráfica pasa por el punto |
( 2 , 0
). (3+1
puntos)
c) El área de la región limitada por la curva y = f(x) y las rectas y = 0, x = 2, x = 4.
(3
puntos)
PROBLEMA 4.
Se dan las matrices |
|
, que dependen del |
del
parámetro real b.
Obtener razonadamente, escribiendo todos
los pasos del razonamiento utilizado:
a)
Los valores de b
para que cada una de las matrices
AB y BA
tenga inversa. (3 puntos)
b) Los valores de b
para que la matriz ATA tenga inversa,
siendo AT la matriz traspuesta de A. (3
puntos)
c)
La inversa de ATA , cuando dicha inversa
exista. (4 puntos)
PROBLEMA 5. Se
da el plano p: 2 x + y – z – 5 = 0 y los puntos A( 1, 2, – 1), B( 2, 1, 0 ).
Obtener razonadamente, escribiendo todos
los pasos del razonamiento utilizado:
a)
La ecuación implícita
del plano que pasa por los puntos A, B y
es perpendicular a p. (4 puntos)
b)
Las ecuaciones
paramétricas de la recta r que es perpendicular a p y pasa por A.
Encuentra dos planos cuya intersección sea la recta r. (1+2
puntos)
c)
La distancia entre
el punto B y la recta
r. (3 puntos)
PROBLEMA 6. En un triángulo isósceles, los dos lados iguales
miden 10 centímetros cada uno.
Obtener razonadamente, escribiendo todos
los pasos del razonamiento utilizado:
a)
La expresión del
área A(x) del triángulo, en función de la longitud x del tercer lado. (4
puntos)
b)
Los intervalos de
crecimiento y decrecimiento de la función
A(x), 0 £
x £ 20. (4 puntos)
c)
La longitud x del tercer lado para que el área del triángulo
sea máxima y el valor de este área. (2 puntos)