Matemáticas II Julio
2023
BAREMO DEL EXAMEN: El alumno
contestará solo CUATRO problemas entre los OCHO propuestos.
Cada problema se puntuará hasta 10
puntos.
La calificación del ejercicio será
la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 4 y aproximada a
las centésimas.
Se permite el uso de calculadoras siempre
que no sean gráficas o programables, y que no puedan realizar cálculo simbólico
ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los
resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar siempre debidamente
justificados.
En las respuestas se deben escribir
todos los pasos del razonamiento utilizado.
|
Problema 1.
Dado el sistema de ecuaciones lineales |
|
donde |
|
a es un parámetro
real. |
|
|
a)
Discutir el sistema en función del parámetro a. (6
puntos)
b) Obtener las soluciones del sistema cuando éste sea
compatible indeterminado. (4 puntos)
|
Problema 2.
Dadas las matrices |
|
obtener: |
a)
La matriz M = (
A – a I )2, donde a es un
parámetro real. (6 puntos)
b)
El valor de a , si existe, para el cual la matriz M es la matriz nula. (4
puntos)
Problema 3. Dados los
puntos A = (2,– 1,0), B = (1,2,3) y C =
(– 1,0,0):
a)
Hallar la ecuación implícita de la recta r que contiene
a los puntos A y B. (3
puntos)
b) Hallar la ecuación del plano p que es
perpendicular a la recta anterior r y que contiene al punto C. (4
puntos)
c)
Calcular la distancia del punto A al plano
p. (3 puntos)
Problema 4. Dada la recta r: (x,y,z) = (1,1,0) + l (– 1,– 1,2), y
el plano p: 5 x + m y + z = 2:
a)
Obtener la posición relativa de r y π
en función de m.
(6 puntos)
b) Para m = 1, calcular el plano p´ que contiene a
r y es perpendicular a π. (4
puntos)
|
Problema 5.
Consideramos la función |
|
|
a)
Comprobar que |
|
es una discontinuidad evitable. (2 puntos) |
b) Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento. (4 puntos)
|
c)
Obtener |
|
(4 puntos) |
Problema 6. Una ventana rectangular está coronada por un
semicírculo tal y como se indica en la siguiente figura.
Sabiendo
que el perímetro de la ventana es de 20 metros:
a)
Calcular el área de la ventana en función de su
anchura x. (3 puntos)
b) Calcular las dimensiones que ha de tener la ventana
para que permita la máxima entrada de luz.
(5 puntos)
c)
Calcular el valor de dicha área máxima. (2
puntos)
Problema 7. Una urna tiene
tres bolas verdes, cuatro rojas y cinco amarillas. Todas de igual tamaño.
a)
Se extrae una
bola de la urna, se mira su color y se devuelve a la urna. Se repite de nuevo,
una vez más, esta operación. ¿Cuál es la probabilidad de que los colores de las
dos bolas extraídas sean el mismo? ¿Y la probabilidad de que sean distintos? (5
puntos)
b)
Se extraen al
mismo tiempo tres bolas. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres sean de
distinto color? (5 puntos)
Los resultados han de
expresarse en forma de fracción o en forma decimal con cuatro decimales de
aproximación.
Problema 8. Una empresa tiene dos plantas de producción de
teléfonos móviles. La primera planta produce móviles defectuosos con
probabilidad 0,02 y la segunda planta con probabilidad 0,06. Al comprar un móvil
de esa empresa, la probabilidad de que sea de la primera planta es de 0,7.
Compramos un móvil. Se pide determinar:
a)
La probabilidad
de que proceda de la segunda planta de producción y sea defectuoso. (4
puntos)
b)
Sabiendo que el
móvil comprado es defectuoso, la probabilidad de que lo haya fabricado la
primera planta de producción. (6 puntos)
Los resultados han de
expresarse en forma de fracción o en forma decimal con cuatro decimales de
aproximación.