Matemáticas II Junio
2019
BAREMO DEL EXAMEN: Se elegirá sólo
UNA de las dos OPCIONES, A o B, y se han de hacer los tres problemas de esa
opción.
Cada problema se puntuará hasta 10
puntos.
La calificación del ejercicio será
la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 3 y aproximada a
las centésimas.
Se permite el uso de calculadoras siempre
que no sean gráficas o programables, y que no puedan realizar cálculo simbólico
ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los
resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar siempre debidamente
justificados.
OPCIÓN A
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PROBLEMA A.1.
Se dan la matriz |
|
, que depende del parámetro
real |
|
a, y una
matriz cuadrada B de orden 3 tal que |
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siendo I la matriz identidad de |
orden
3. Obtener razonadamente, escribiendo
todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)
El rango de la matriz
A en función del parámetro a y el determinante de la matriz 2 A-1
cuando a = 1. (2 + 2 puntos)
|
b)
Todas las
soluciones del sistema de ecuaciones |
|
cuando a
= – 1. |
(3 puntos)
c)
La comprobación de que
B es invertible,
encontrando m y n tales que
A-1 = m B + n I.
(3 puntos)
|
PROBLEMA A.2.
Consideramos en el espacio las rectas |
|
ya |
|
Obtener razonadamente, escribiendo todos
los pasos del razonamiento utilizado:
a)
La ecuación del plano que contiene las rectas r y
s. (3
puntos)
b)
La recta que pasa
por P = (0, – 1, 2) y corta
perpendicularmente a la recta r. (4
puntos)
c)
El valor que deben tener los parámetros reales a
y b para que la recta s esté
contenida en el plano 
: x – 2 y + a z = b. (3 puntos)
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PROBLEMA A.3.
Se considera la función |
|
. |
Obtener razonadamente, escribiendo todos
los pasos del razonamiento utilizado:
a)
Las asíntotas, los
intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los máximos y mínimos
relativos de la función f(x). (3
puntos)
b) La representación gráfica de la curva de la curva y = f(x), (2
puntos)
c)
El valor del parámetro
a para que se pueda aplicar el teorema de Rolle
en el intervalo [0,1] a la función g(x) = f(x) + a x. (4 puntos)
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d)
El valor de las
integrales indefinidas |
|
(1
punto) |
OPCIÓN B
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PROBLEMA B.1.
Se tiene el sistema de ecuaciones |
|
, donde |
|
es
un parámetro real. Obtener razonadamente,
escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)
Los valores del parámetro 
para
los que el sistema es compatible y los valores de para
los que el sistema es incompatible. (4 puntos)
b) Todas las soluciones del sistema cuando sea compatible. (4 puntos)
c) La discusión de la compatibilidad y determinación del nuevo sistema deducido del anterior al cambiar el coeficiente 11 por cualquier otro número diferente. (2 puntos)
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PROBLEMA B.2.
Sea |
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el plano de ecuación 9 x
+ 12 y + 20 z = 180. |
Obtener razonadamente, escribiendo todos
los pasos del razonamiento utilizado:
a)
Las ecuaciones de
los dos planos paralelos a 
que distan 4 unidades
de . (4 puntos)
b)
Los puntos A, B y
C intersección del plano con los ejes OX, OY y
OZ y el ángulo que forman los vectores 
y 
. (4
puntos)
c)
El volumen del
tetraedro cuyos vértices son el origen de coordenadas y los puntos A, B y
C. (2
puntos)
PROBLEMA B.3. Las coordenadas iniciales de los móviles A y B son (0,0) y (250,0), respectivamente, siendo 1 km la distancia del origen de coordenadas a cada uno de los puntos (1,0) y (0,1).
El
móvil A se desplaza sobre el eje OY desde su posición inicial hasta el punto 
con velocidad de 30
km/h y, simultáneamente, el móvil B se desplaza sobre el eje OX desde su
posición inicial hasta el origen de coordenadas con velocidad de 40 km/h.
Obtener razonadamente, escribiendo todos
los pasos del razonamiento utilizado:
a) La distancia f(t) entre los móviles A y B durante el desplazamiento, en función del tiempo t en horas desde que comenzaron a desplazarse. (2 puntos)
b) El tiempo T que tardan los móviles en desplazarse desde su posición inicial a su posición final, y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f a lo largo del trayecto. (4 puntos)
c) Los valores de t para los que la distancia de los móviles es máxima y mínima durante su desplazamiento y dichas distancias máxima y mínima. (4 puntos)