Matemáticas II Septiembre 2007
Características de
la prueba.
Se elegirán TRES
bloques y se hará un problema de cada uno de ellos.
Cada problema se
puntuará de 0 a 3,3, según la puntuación máxima de cada apartado.
La suma de las
puntuaciones más 0,1 será la calificación de la prueba.
Cada estudiante
deberá disponer de una calculadora científica o gráfica para la realización del
examen. Se prohíbe su utilización indebida (para guardar fórmulas en memoria).
Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos o gráficos deben
estar debidamente justificados.
Bloque 1. ÁLGEBRA LINEAL.
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Problema 1.1. Dado el sistema
de ecuaciones lineales |
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,
se pide: |
a) Justificar que para cualquier valor del
parámetro real 
, el sistema tiene solución única. (1 punto).
b) Hallar la solución del sistema en
función del parámetro . (1.3 puntos).
c) Determinar el valor de para
el que la solución (x,
y,
z)
del sistema satisface x + y + z = 1.
(1 punto).
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Problema 1.2. Dadas las
matrices |
|
,
se pide: |
|
a)
Obtener razonadamente todos los valores de |
|
para
los que |
|
es
la única solución de la ecuación |
|
matricial A X = |
||||
b)
Resolver la ecuación matricial A
X = 2 X . (1,8 puntos).
Bloque 2. GEOMETRÍA.
Problema 2.1. Dado
el plano 
2x +
y +
3z –
1 = 0 y el punto Q = (2,1,3),
se pide calcular :
a) La distancia del punto Q al plano 
. (1,1 puntos).
b) El área del triángulo 
cuyos vértices P1,
P2
y P3
son los puntos de intersección del plano con los ejes
coordenados. (1,1 puntos).
c) El volumen del tetraedro de vértices P1,
P2,
P3
y Q. (1,1 puntos).
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Problema 2.2. Dados
los planos |
|
de ecuaciones |
se pide:
a) Calcular el ángulo que forman los planos 
. (1,1 puntos).
b) Calcular la ecuación paramétrica de la
recta r,
intersección de los planos . (1,1 puntos).
c) Comprobar que el plano de ecuación x + y – 1 = 0 es
el plano bisector de , es decir, forma
un ángulo 
con cada uno de de los
planos , donde es el ángulo obtenido en
el apartado a). (1,1 puntos).
Bloque 3. ANÁLISIS.
Problema 3.1. Se
consideran las funciones reales f (x) = 4 x2 + 2 x + 10 y
g(x) = x3 + x2
+ 5 x + 5. Se pide:
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a) Determinar las ecuaciones de las asíntotas a la
gráfica de la función |
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(1,6 puntos). |
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b) Calcular la función |
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que cumple H(0) = 0. (1,7 puntos). |
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Problema 3.2. Sea la función
con dominio los números reales no nulos |
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a)
Calcular la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f(x) en el punto de abscisa x = 2. (1.8 puntos) .
b) Determinar los puntos M y N de la gráfica de f(x) para los que las rectas
tangentes a la gráfica en M y
N se
cortan en el punto (4 , – 8). (1.5
puntos).
Bloque 4. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.
Problema 4.1. Se
tienen dos programas informáticos A
y B.
Para procesar n datos,
el programa A realiza
un número de operaciones elementales no superior a 
, mientras que el programa B
ejecuta n2 – 2 n + 10 operaciones
elementales. Comprobar que cuando el número n
de datos es grande, el programa A procesa los n datos con menos operaciones
elementales que el programa B.
(3,3 puntos).
Problema 4.2. El borde de un
estanque está formado por el arco de curva y
= 4 – x2 de extremos (– 2
, 0) y (2,0) y el segmento rectilíneo que une estos dos puntos. Un surtidor
está situado en el punto de coordenadas (0,2) . Se pide:
a)
Determinar, razonadamente, el punto del segmento rectilíneo del borde del
estanque que está más próximo del surtidor. (0,8
puntos).
b)
Determinar, razonadamente, los puntos del arco de curva del borde del estanque
que están más próximos del surtidor. (1,6
puntos).
c) ¿Cuáles son los puntos del borde del
estanque más próximos al surtidor? (0,9
puntos).