Matemáticas II Julio
2021
BAREMO DEL EXAMEN: El alumno elegiré
solo TRES problemas entre los seis propuestos.
Cada problema se puntuará hasta 10
puntos.
La calificación del ejercicio será
la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 3 y aproximada a
las centésimas.
Se permite el uso de calculadoras siempre
que no sean gráficas o programables, y que no puedan realizar cálculo simbólico
ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los
resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar siempre debidamente
justificados.
En las respuestas se deben escribir
todos los pasos del razonamiento utilizado.
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PROBLEMA 1.
Dado el sistema de ecuaciones |
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, donde |
m es un |
parámetro
real. Se pide:
a)
La discusión del sistema de ecuaciones en función del
parámetro m. (4 puntos)
b) La solución del sistema cuando m =
1. (3
puntos)
c)
Las soluciones del sistema en el caso en que sea
compatible indeterminado. (3 puntos)
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PROBLEMA 2.
Se dan las rectas |
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y el plano |
π: x + m y + z = 2 que depende
del parámetro real m. Se pide:
a)
La posición
relativa de las rectas r
y s. (4 puntos)
b)
El valor del
parámetro m para que la recta r esté contenida en el plano π. (3
puntos)
c)
Los puntos A, B,
C intersección del plano π
con los ejes de coordenadas cuando
m = 2, así como el volumen del
tetraedro de vértices A, B, C
y
P ( 2 , 2, 2 ). (3
puntos)
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PROBLEMA 3.
Se considera la función |
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, calculad: |
a)
El dominio, los intervalos de crecimiento y
decrecimiento y los extremos relativos.
(4 puntos)
b) Las asíntotas y la gráfica de f. (3 puntos)
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c) La integral
|
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(3
puntos) |
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Problema 4.
Se dan las matrices |
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Obtened: |
a)
El rango de la matriz
A según los valores del parámetro
a. (3
puntos)
b) Una matriz C
tal que A C = 16 I, siendo I la matriz identidad, cuando a = 0. (4
puntos)
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c) El rango de la matriz B y la discusión de si el sistema |
|
tiene solución. |
(3 puntos)
PROBLEMA 5. Dados los puntos
P(1, 1, 0), Q(2,
– 1, 1) y R(a, 3, – 1) se pide:
a)
La
ecuación del plano que contiene a P, Q y R cuando a = 1 y la distancia de dicho plano al origen de
coordenadas. (3 puntos)
b) La ecuación de la recta r que pasa por R cuando a = 1 y es
paralela a la recta s que pasa por
P
y Q. (4
puntos)
c)
Los valores de a para los
cuales P, Q y R están alineados y la ecuación de la recta que los
contiene. (3 puntos)
PROBLEMA 6. Queremos
diseñar un campo de juego de modo que la parte central sea rectangular, y las
partes laterales sean semicircunferencias hacia fuera. La superficie del campo
mide ( 4 + p ) metros cuadrados. Se
quieren pintar todas las rayas de dicho campo tal y como se observa en la
figura. Se pide:
a)
Escribid la
longitud total de las rayas del campo en función de la altura y del rectángulo. (5
puntos)
b)
Calculad las
dimensiones del campo para que la pintura usada sea mínima. (5
puntos)
