Matemáticas II Junio 2002
Características de
la prueba.
Se ofertarán a los
alumnos dos ejercicios y éstos elegirán uno. Cada uno de dichos ejercicios
propondrá la resolución de cuatro problemas. Los alumnos tendrán que elegir
tres de entre los cuatro propuestos.
Independientemente
del ejercicio escogido, cada uno de los cuatro problemas propuestos contribuirá
por igual a la calificación del ejercicio.
Cada estudiante
deberá disponer de una calculadora científica o gráfica para la realización del
examen. Se prohíbe su utilización indebida (para guardar fórmulas en memoria).
EJERCICIO A
PROBLEMA 1. Para
cada terna de números reales (x,y,z), se consideran las matrices
i)
Calcular los
determinantes de las matrices A y B
. (1
punto)
ii)
Para x=y=z=1,
calcular el determinante de la matriz producto
A B . (0,3 puntos).
iii)
Obtener,
razonadamente, para que valores de x, y, z, ninguna de las matrices A y B tiene inversa. (2
puntos).
PROBLEMA 2. Dados los puntos A=(1,-2,3) y B=(0,2,1), se pide:
a)
La ecuación paramétrica de la recta que pasa por ambos puntos. (1,1 puntos)
b)
La ecuación del plano 
que está a igual
distancia de A y de B. (1,1 puntos)
c)
La distancia al origen de la recta intersección del plano 2y-z=0 con el plano del apartado b). (1,1
puntos)
PROBLEMA 3. Las
horas de estudio y las calificaciones en Matemáticas de siete alumnos han sido:
|
|
1º |
2º |
3º |
4º |
5º |
6º |
7º |
|
Horas de estudio |
17 |
17,5 |
13 |
17 |
17,5 |
15 |
4 |
|
Matemáticas |
8 |
9 |
6 |
7 |
8 |
6 |
2 |
a) Halla el coeficiente de
correlación entre las calificaciones en Matemáticas y las horas de estudio de
esos alumnos. (0,5 puntos)
b) Explica el significado del
coeficiente de correlación. (1 punto)
c)
Explica razonadamente como se estima la calificación en Matemáticas que
obtendría un alumno al estudiar 20 horas.
(1,8 puntos)
|
PROBLEMA 4. Hallar el valor positivo de a
para que |
|
(2
puntos). |
Obtener,
razonadamente, la integral que da el área de la superficie comprendida entre el
eje OX, la curva y=x+1 y las rectas x=0
y x=2. (1,3
puntos)
EJERCICIO B
|
PROBLEMA 1.
Para cada número real |
|
es la matriz |
|
Se pide: |
i)
Obtener el
determinante de la matriz 
, y justificar que para cualquier número real 
existe la matriz 
inversa de . (1,3 puntos).
ii)
Calcular la
matriz M(0)-1 (1
punto)
iii)
Si A=M(8),
B=m(4) y
C=M(3), calcúlese, razonadamente el determinante de la matriz producto A
B-1 C-1 . (1 punto)
PROBLEMA 2. a) Hallar la distancia del punto P=(3,-1,4) a la
recta r
intersección de los planos: (1,8 puntos)
b)
Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta r y el
punto P. (1,5
puntos)
|
PROBLEMA 3. Considerar las funciones definidas para |
|
Calcular
f´(x)
y g´(x) y expresarlas del
modo más simplificado posible. (2 puntos)
Comparar
los resultados y deducir justificadamente la diferencia entre f(x) y g(x). (1,3 puntos)
PROBLEMA 4. El 20% de los habitantes de una gran ciudad votan al
partido político B. Se seleccionan al azar tres habitantes y se pide calcular
razonadamente:
a)
La probabilidad de que los tres voten al partido B. (1
punto)
b)
La probabilidad de que ninguno vote al partido B. (1 punto)
c)
La probabilidad de que solamente uno vote al partido B. (1,3
puntos)
Nota: El número de habitantes es tan grande que siempre se puede considerar
que después de seleccionar uno dos o tres ciudadanos se tiene que un 20% de los
no seleccionados son los que votan al partido B.