Matemáticas II Junio 2009
Características de
la prueba.
Se elegirán TRES
bloques y se hará un problema de cada uno de ellos.
Cada problema se
puntuará de 0 a 3,3, según la puntuación máxima de cada apartado.
La suma de las
puntuaciones más 0,1 será la calificación de la prueba.
Cada estudiante
deberá disponer de una calculadora científica o gráfica para la realización del
examen. Se prohíbe su utilización indebida (para guardar fórmulas en memoria).
Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos o gráficos deben
estar debidamente justificados.
Bloque 1. ÁLGEBRA LINEAL.
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Problema 1.1. Dadas las matrices cuadradas |
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, se pide: |
a) Justificar que la
matriz A tiene inversa y obtener razonadamente la matriz inversa A-1
, incluyendo en la respuesta todos los pasos que llevan a la obtención de A-1. (1,1 puntos).
b) Calcular,
razonadamente, el determinante de la matriz
3 A-1 , incluyendo en la respuesta todos los pasos realizados.
(1,1 puntos).
c) Obtener
razonadamente los valores reales x, y,
z que verifican la ecuación x I + y A + z A2 = B. (1,1
puntos).
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Problema 1.2. Dado el sistema de ecuaciones lineales |
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se pide, razonando las respuestas: |
a) Justificar que para el valor
de 
= 0 el sistema es
incompatible. (1,1 puntos).
b) Determinar los valores
del parámetro para los que el
sistema es compatible y determinado. (1,1 puntos).
c)
Resolver el sistema para el valor del
parámetro para el cual es
compatible indeterminado. (1,1
puntos).
Bloque 2. GEOMETRÍA.
Problema 2.1. Sean A, B y C
los puntos de intersección del plano de
ecuación x + 4 y – 2 z – 4 = 0 con los tres ejes coordenados OX, OY
y OZ, respectivamente. Se pide calcular razonadamente:
a) El área del triángulo
ABC. (1,1 puntos).
b) El perímetro del
triángulo ABC. (1,1 puntos).
c)
Los tres ángulos interiores del
triángulo ABC. (1,1 puntos).
Problema 2.2. Dados los puntos
O = (0,0,0), A = (4,4,0) y P =
(0,0,12), se pide obtener razonadamente:
a) La ecuación de la recta
que pasa por A y es perpendicular al plano de ecuación z = 0. (1 punto).
b) La ecuación de un plano
que cumpla las dos condiciones siguientes:
- Pase por P y por un punto Q de la recta de
ecuación x = y = 4
- Sea perpendicular a la recta que pasa por O y Q. (2,3
puntos por hallar uno de los dos planos solución).
Bloque 3. ANÁLISIS.
Problema 3.1.
a)
Determinar, razonadamente, el dominio y los intervalos
de crecimiento y decrecimiento de la función
. (1 punto).
b)
Obtener razonadamente los valores A y B
tales que 
. (1 punto).
c)
Calcular razonadamente el área de la superficie S
limitada por la curva 
, el eje OX y las rectas de ecuaciones x = – 2
y x = 2 . (1,3 puntos).
Problema 3.2. Dada la función real f (x) = ex
– e-x , se pide calcular razonadamente:
a) La función f(x) + f(– x). (1,1 puntos).
b) La integral 
, donde a es un número real positivo. (1,1 puntos).
c) El punto de inflexión de f(x). (1,1
puntos).
Bloque 4. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.
Problema 4.1. Se desea construir una
bodega con forma de paralelepípedo de 100 m3 de volumen de manera
que el largo de su base sea 3/4 de la anchura
x de su base. Se sabe que los precios
de un metro cuadrado de suelo, de techo y de pared lateral son,
respectivamente, 225 €/m2, 300 €/m2 y 256 €/m2.
Determinar razonadamente:
a)
El valor x de la anchura de la base que minimiza el coste. (2,3 puntos).
b)
Dicho coste mínimo. (1 punto).
Problema 4.2. Un proveedor
vende un producto a un comerciante al precio de 300 euros la unidad. El
comerciante incrementa la cantidad de 300 euros e un 40% para obtener el precio
de venta al público. El comerciante sabe que a ese precio venderá 50 unidades
cada mes y que durante el mes de rebajas por cada 3 euros de reducción en el
precio de venta de la unidad conseguirá un incremento de ventas de 5 unidades. Se
pide determinar, razonadamente, el número de unidades que debe pedir al
proveedor para venderlas en el mes de rebajas y el precio de venta de cada
unidad, para maximizar sus beneficios durante ese periodo. (2 puntos por
obtener el número de unidades y 1,3 puntos por el precio de venta).