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Matemáticas II Junio 2012

BAREMO DEL EXAMEN: Se elegirá sólo UNA de las dos OPCIONES, A o B, y se han de hacer los tres problemas de esa opción.

Cada problema se puntuará hasta 10 puntos.

La calificación del ejercicio será la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 3 y aproximada a las centésimas.

Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica para la realización del examen. Se prohíbe su utilización indebida (para guardar fórmulas en memoria).

Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos y gráficos deberán estar siempre debidamente justificados.

OPCIÓN A

PROBLEMA A.1. Se da el sistema de ecuaciones S:

,donde

α es un parámetro real.

Obtener razonadamente:

a) La solución del sistema S cuando α = 0. (3 puntos)

b) Todas las soluciones del sistema S cuando α = – 1. (4 puntos)

c) El valor de α para el que el sistema S es incompatible. (3 puntos)

Solución

PROBLEMA A.2. Se dan las rectas

y

, siendo

α y β parámetros reales.

Calcular razonadamente:

a) Las coordenadas del punto de corte de r₁ y r₂. (3 puntos)

b) La ecuación del plano que contiene esas dos rectas. (4 puntos)

c) La distancia del punto (0, 0, 1) a la recta r₂. (3 puntos)

Solución

PROBLEMA A.3. Con el símbolo ln x se representa el logaritmo de un número positivo x cuando la base del logaritmo es el número e. Sea f la función que para un número positivo x está definida por la igualdad

f(x) = 4 x ln x.

Obtener razonadamente:

a) El valor de x donde la función f alcanza el mínimo relativo. (4 puntos)

b) La ecuación de la recta tangente a la curva y = 4 x ln x en el punto (1,0). (3 puntos)

c) El área limitada entre las rectas y = 0, x = e y x = e² y la curva y = 4 x ln x. (3 puntos)

Solución

OPCIÓN B

PROBLEMA B.1. Obtener razonadamente:

a) Todas las soluciones

de la ecuación

(4 puntos).

b) El determinante de una matriz cuadrada B de dos filas, que tiene matriz inversa y que verifica la ecuación B² = B. (3 puntos).

c) El determinante de una matriz cuadrada A que tiene cuatro filas y que verifica la ecuación:

sabiendo además que el determinante de A es positivo. (3 puntos).

Solución

PROBLEMA B.2. Se da la recta r de ecuación

y el plano π de

ecuación , donde n y p son dos parámetros reales.

Obtener razonadamente:

a) Todos los valores de n para los que la intersección de la recta r y el plano π es un punto. (4 puntos).

b) El valor de n y el valor de p para los que la recta r está contenida en el plano π. (3 puntos).

c) El valor de n y todos los valores de p para los que la recta r no corta al plano π. (3 puntos).

Solución

PROBLEMA B.3. Para diseñar un escudo se dibuja un triángulo T de vértices A = (0, 12), B = (– x, x²) y C = (x, x²), siendo x² < 12.

Obtener razonadamente:

a) El área del triángulo T en función de la abscisa x del vértice C. (2 puntos).

b) Las coordenadas de los vértices B y C para que el área del triángulo T sea máxima. (3 puntos).

Para completar el escudo se añade al triángulo T de área máxima la superficie S limitada entre la recta y = 4 y el arco de parábola y = x², cuando – 2 ≤ x ≤ 2.

Obtener razonadamente:

c) El área de la superficie S. (3 puntos).

d) El área total del escudo. (2 puntos).

Solución

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