Matemáticas II Junio
2021
BAREMO DEL EXAMEN: El alumno elegiré
solo TRES problemas entre los seis propuestos.
Cada problema se puntuará hasta 10
puntos.
La calificación del ejercicio será
la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 3 y aproximada a
las centésimas.
Se permite el uso de calculadoras siempre
que no sean gráficas o programables, y que no puedan realizar cálculo simbólico
ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los
resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar siempre debidamente
justificados.
En las respuestas se deben escribir
todos los pasos del razonamiento utilizado.
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Problema 1.
Dado el sistema de ecuaciones |
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a)
Estudiadlo en función de los valores del parámetro real
a. (5
puntos)
b) Encontrad todas las soluciones del sistema cuando éste
sea compatible. (5 puntos)
Problema 2. Sea dan los planos p1: x + y + z = a – 1, p2: 2 x + y + a z = a
y p3: x + a y + z = 1.
a)
Determinad la posición relativa de los tres planos en
función del parámetro a. (4
puntos)
b)
Para a = 1, calculad, si existe, la recta de
corte entre los planos p1 y p3. (3 puntos)
c)
Para a = 2,
calculad, si existe, la recta de corte entre los planos p1 y p2. (3 puntos)
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Problema 3.
Consideremos la función |
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. Obtened: |
a)
El dominio y las asíntotas de la función. (2
puntos)
b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x). (4 puntos)
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c) La integral |
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(4 puntos) |
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Problema 4.
Dada la matrizaa |
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, se pide: |
a)
Obtened el rango de la matriz en función del
parámetro m. (4 puntos)
b) Explicad cuando la matriz A es invertible. (2
puntos)
c) Resolved la ecuación X A = I donde I es la matriz identidad en el caso m = 1. (4 puntos)
Problema 5. Dados
el punto P ( 1, 2, 3 ) y el plano p: 3 x + 2 y + z + 4 = 0, se pide:
a)
Calculad la
distancia del punto P al plano p. (2 puntos)
b)
Calculad el
punto P´ que es el simétrico del
punto P respecto del plano p. (5
puntos)
c)
La ecuación del
plano p´ que pasa por P y
es paralelo a p. (3 puntos)
Problema 6. Un espejo plano, cuadrado, de 80 cm de lado, se ha
roto por una esquina siguiendo una línea recta. El trozo desprendido tiene
forma de triángulo rectángulo de catetos 32 cm y 40 cm respectivamente. En el
espejo roto recortamos una pieza rectángulo R,
uno de cuyos vértices es el punto (x, y)
(véase la figura).
a)
Hallad el área de
la pieza rectangular obtenida como función de
x, cuando 0 £ x £ 32. (4
puntos)
b)
Calculad las
dimensiones que tendrá R para que su área sea máxima. (4
puntos)
c)
Calculad el valor
de dicha área máxima. (2 puntos)
