Matemáticas II Junio
2023
BAREMO DEL EXAMEN: El alumno contestará
solo CUATRO problemas entre los OCHO propuestos.
Cada problema se puntuará hasta 10
puntos.
La calificación del ejercicio será
la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 4 y aproximada a
las centésimas.
Se permite el uso de calculadoras siempre
que no sean gráficas o programables, y que no puedan realizar cálculo simbólico
ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los
resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar siempre debidamente
justificados.
En las respuestas se deben escribir
todos los pasos del razonamiento utilizado.
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Problema 1.
Dadas las matricesaa |
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a)
Estudiar cuando la ecuación matricial A2
X = B tiene solución en función del
parámetro real m. (4 puntos)
b) Encontrar todas las soluciones de la ecuación anterior
cuando estas existan. (6 puntos)
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Problema 2.
Dadas las matrices |
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a)
Obtener la matriz
(A BT+ I)-1, donde I es la matriz
identidad de las dimensiones adecuadas para realizar la operación. (6
puntos)
b) Comprobar que C2 = – a3 I, donde I es la matriz identidad, y calcular C13. (4
puntos)
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Problema 3.
Dada la recta |
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los puntos P
= (0,0,3) y Q
= (2,2,a), |
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obtener: |
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a)
Los valores del
parámetro real a, si existen, para los son paralelas las rectas r y la
recta que pasa por los puntos P y Q.
(6 puntos)
b)
La ecuación del
plano perpendicular a r
y que pasa por P.
(4 puntos)
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Problema 4.
Dada la recta |
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el punto P
= (0,5,2) se pide: |
a)
Comprobar que el punto Q = (2,6,0) pertenece
a la recta r y encontrar la recta s
que pasa por los puntos P
y Q. (2
puntos)
b)
Obtener el ángulo
que forman la recta r y la recta s. (3
puntos)
c)
Obtener la proyección ortogonal del punto P en la recta
r. (5
puntos)
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Problema 5.
Considerar la función |
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. Obtener: |
a)
El dominio y las asíntotas de f(x). (2
puntos)
b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x)
y sus máximos y mínimos. (4 puntos)
c)
El área comprendida entre la curva y=f(x) y
las rectas y=0, x=1
y x=2. (4 puntos)
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Problema 6. El corte vertical de la entrada a la plaza
amurallada de cierto pueblo tiene forma de parábola con ecuación y = –
x2 + 12, donde x e y se miden en metros e y = 0 representa el suelo. Se desea
poner una puerta rectangular de modo que las dos esquinas superiores estén en
la parábola y las inferiores en el suelo. El resto de la entrada va cerrado
con piedra. Calcular: a) Calcular las dimensiones de la puerta para que tenga
la mayor superficie posible. (6 puntos) b) Utilizando la puerta del apartado anterior, obtener
el área de la parte frontal de la puerta y el área de la parte frontal de la
entrada recubierta de piedra. (4 puntos) |
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Problema 7. Tenemos dos monedas distintas M1 y M2.
La probabilidad de obtener cara al lanzar la moneda M1 es x y la
probabilidad de obtener cara al lanzar la moneda M2 es y.
a)
Si lanzamos las
dos monedas al mismo tiempo, calcular las probabilidades de no obtener ninguna
cara, de obtener solo una cara y de obtener dos caras. (3
puntos)
b)
Después de lanzar
las dos monedas, volvemos a lanzar solamente las monedas en las que no hemos obtenido
cara. Calcular las probabilidades de que el resultado final haya sido obtener
ninguna cara, obtener solo una cara y obtener dos caras. (7
puntos)
Problema 8. Cada fin de semana llegan al aeropuerto de Alicante
161 vuelos. De estos 161 vuelos, 95 proceden del territorio nacional, 50
proceden de la Unión Europea y 16 proceden de países de fuera de la Unión
Europea. Sabiendo que el 5% de los vuelos con procedencia nacional, el 4% de
los vuelos con procedencia de la Unión Europea y el 6.25% del resto de vuelos
se retrasan:
a)
Calcular la
probabilidad de que durante el fin de semana un vuelo se retrase. (5
puntos)
b)
Sabiendo que un
vuelo concreto se ha retrasado, calcular la probabilidad de que este vuelo
proceda de la Unión Europea. (5 puntos)
Los resultados han de
expresarse en forma de fracción o en forma decimal con cuatro decimales de
aproximación.