Matemáticas II Junio
2025
BAREMO DEL EXAMEN: Cada
problema se puntuará hasta 2,5 puntos.
La calificación del
ejercicio será la suma de las calificaciones de cada problema.
Se permite el uso de
calculadoras siempre que no sean gráficas o programables, y que no puedan
realizar cálculos simbólicos ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se
utilice o no la calculadora, los resultados analíticos, numéricos y gráficos
deberán estar siempre debidamente justificados.
A partir de la
tercera falta de ortografía se deducirán -0,10 puntos hasta un máximo de un
punto.
Por errores en la
redacción, en la presentación, falta de coherencia, falta de cohesión,
incorrección léxica e incorrección gramatical se podrá deducir un máximo de
medio punto.
En las
respuestas se deben escribir todos los pasos del razonamiento utilizado.
PREGUNTA 1: PROBABILIDAD
Y ESTADÍSTICA (2,5 puntos)
Una pizzería ofrece tres
tipos de pizza: margarita, vegetariana y pepperoni. A lo largo de los años,
utilizando su aplicación para teléfonos inteligentes, el restaurante ha
recopilado datos sobre las preferencias de los clientes, calculando que el 40%
de sus clientes piden pizza margarita, el 25% elige la pizza vegetariana y el
resto prefiere la pizza pepperoni.
1.1 (0.25 puntos) Si se elige un cliente
al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya pedido una pizza pepperoni?
1.2 (0.75 puntos) ¿Cuál es la
probabilidad de que dos clientes elegidos al azar hayan pedido distintos tipos
de pizza?
Para mejorar su
servicio y agilizar los tiempos de preparación, la pizzería decide considerar
un grupo típico de 10 clientes con el objetivo de decidir cuántas pizzas
margarita preparar con antelación y evitar retrasos durante las horas con más
demanda, minimizando el desperdicio.
1.3 (0.75
puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 4 de los 10 clientes
pidan pizzas margarita?
1.4
(0.75 puntos) ¿Cuál es la
probabilidad de que al menos uno de los 10 clientes del grupo pida una pizza
margarita?
PREGUNTA 2: ÁLGEBRA (2,5 puntos)
Responda al apartado 2.1 o al apartado 2.2
2.1 En un
sistema de procesamiento de imágenes se utiliza una matriz para transformar
ciertos datos. La matriz depende del parámetro real a y es:
2.1.1 (1.25 puntos) En uno de los procesos,
para que el sistema funcione, se necesita que la matriz sea idempotente, es
decir que su cuadrado coincida con ella, A2
= A. Obtener los valores de a que permitan funcionar
a este proceso.
2.1.2 (1.25 puntos) En otro proceso diferente,
se necesita utilizar la matriz inversa de A.
Obtener los valores de a para los
cuales existe la inversa y calcular esta inversa en función de a .
___________________________________________________________________
2.2 Sea el sistema de ecuaciones lineales:
donde a es un
parámetro real. Se pide:
2.2.1
(1 punto) Discutir el sistema en
función del parámetro a.
2.2.2
(0.75 puntos) Calcular las soluciones del sistema cuando éste sea
compatible indeterminado.
2.2.3 (0.75 puntos) Calcular las soluciones
del sistema para a = 0.
PREGUNTA 3: GEOMETRÍA (2,5 puntos)
Responda al apartado 3.1 o al apartado 3.2
|
3.1 Dada la recta
|
|
calcular: |
,3.1.1 (1 punto) Si
existen, las coordenadas del punto de corte de ambas rectas.
3.1.2 (1 punto) La
ecuación del plano que contiene a
ambas rectas.
3.1.3 (0.5 puntos) La distancia del punto P =
(1,0,2) a dicho plano.
___________________________________________________________________
|
3.2 Se considera el plano |
|
y el punto P
= (– 1,0,1). Se pide: |
3.2.1 (1 punto) La ecuación del plano
perpendicular a p que pasa
por P y Q = (2,1,2).
3.2.2 (0.5
puntos) La distancia del punto Q
al plano π.
3.2.3 (1
punto) El punto simétrico de P respecto del plano π.
PREGUNTA 4: ANÁLISIS (2,5 puntos)
Responda al apartado 4.1 o al apartado 4.2
4.1 Una empresa de paquetería
quiere diseñar distintos modelos de cajas. Uno de esos modelos consiste en una
caja de 80 cm3 de volumen, con base y tapa cuadradas. El precio del
material de las paredes laterales es de 1 céntimo por cm2. La base y
tapa se construirán con un material de calidad superior a las caras laterales
de la caja, siendo éste un 25% más caro.
Obtener:
4.1.1 (0.75 puntos) La
función P(x) que proporciona el
precio del material de la caja en función del lado de la base x.
4.1.2
(1.25 puntos) Las dimensiones de
la caja para que la función P(x)
tenga el menor valor posible.
4.1.3 (0.75 puntos) El precio del material en el caso anterior.
___________________________________________________________________
4.2 Dada la
función real de variable real
Se pide:
4.2.1 (1 punto) Representar la región
comprendida entre la gráfica de la función
f , el eje de abcisas (eje OX)
y las rectas x = – 1 y x =
5.
4.2.2 (1.5 puntos) Calcular el área
de la región anterior.