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Matemáticas II                                    Septiembre 2006

 

Características de la prueba.

Se elegirá el EJERCICIO A o el EJERCICIO B, del que sólo se harán TRES de los problemas propuestos.

Cada problema se puntuará de 0 a 3,3, según la puntuación máxima de cada apartado.

La suma de las puntuaciones más 0,1 será la calificación de la prueba.

Cada estudiante deberá disponer de una calculadora científica o gráfica para la realización del examen. Se prohíbe su utilización indebida (para guardar fórmulas en memoria).

 

EJERCICIO A

PROBLEMA 1. Dado el sistema de ecuaciones con un parámetro real  λ  e incógnitas x, y, z,

se pide:

a) Calcular para qué valores de λ el sistema sólo admite la solución (x, y, z) = (0, 0, 0) (1 punto).

b) Para cada valor de λ que hace indeterminado el sistema, obtener todas sus soluciones (1,8 puntos).

c) Explicar la posición relativa de los tres planos definidos por cada una de las ecuaciones del sistema cuando λ = – 3 (0,5 puntos).

        Solución

 

 PROBLEMA 2. En el espacio se consideran:

·         La recta r intersección de los planos de ecuaciones implícitas 2 x – 2 y – z = 9   y   4 x – y + z = 42.

·         Y la recta s que pasa por los puntos (1,3,-4) y (3,-5,-2). Se pide:

a) Calcular las ecuaciones paramétricas de la recta r (0,8 puntos) y de la recta s (0,3 puntos).

b) Justificar que las rectas r y s se cruzan (0,8 puntos).

c) Calcular un vector direccional de la recta t, perpendicular común a las rectas r y s, (0,4 puntos) y calcular el punto P de intersección de las rectas s y t (1 punto).

        Solución

 

PROBLEMA 3. Dadas las funciones f (x) = x3 – 3 x + 8    y    g(x) = − 3 x , se pide:

a) Calcular el máximo absoluto de la función f (x) en el intervalo [ – 3 , 0 ] (1 punto).

b) Calcular el punto de corte de la curva y = f(x) y la recta y = g(x) (1 punto).

c) Obtener el área del recinto limitado por la curva y = f(x) y las rectas  y = g(x),  x = – 3   y  x = 0. (1,3 puntos).

        Solución

 

PROBLEMA 4. Un incendio se extiende en forma circular uniformemente. El radio del círculo quemado crece a la velocidad constante de 1,8 m/min.

a) Obtener el área quemada en función del tiempo t transcurrido desde el comienzo del incendio (1,3 puntos).

b) Calcular la velocidad de crecimiento del área del círculo quemado en el instante en que el radio alcance 45 m (2 puntos).

        Solución

 

 

EJERCICIO B

PROBLEMA 1. A es una matriz 3× 3 tal que

Se pide:

a) Calcular el determinante de la matriz A3 (0,5 puntos) y la matriz inversa de A3 (1 punto).

b) Calcular la matriz fila X = (x, y, z) que es solución de la ecuación matricial XA3 = BA2 , donde B es la matriz fila B = (1, 2, 3) (1,3 puntos).

c) Calcular la matriz inversa de A (0,5 puntos).

        Solución

 

PROBLEMA 2. En el espacio se consideran:

Ø      El plano π que pasa por los puntos (11, 1, 2), (5, 7, 5) y (7, –1, –2).

Ø      Y la recta r intersección de los planos de ecuaciones implícitas x + y + z = 15 y 2x − 7y + 2z = 3 .

a) Calcular la ecuación paramétrica de r (0,6 puntos) y la ecuación implícita del plano π (0,4 puntos).

b) Calcular el punto P intersección de r y π (0,8 puntos) y el ángulo α que determinan r y π (0,5 puntos).

c) Calcular los puntos M y N de la recta r cuya distancia al plano π es igual a 3 u.l. (1 punto).

        Solución

 

PROBLEMA 3.

a) Obtener la derivada de la función f(x) = ax + b + sen x (0,5 puntos). Calcular a y b si O = (0, 0) es un punto de la curva y = ax + b + sen x , cuya recta tangente en O = (0, 0) es el eje OX (1,8 puntos).

b) Justificar que la función

se anula en dos puntos del intervalo [0,π] (0,5 puntos).

c) Calcular esos dos puntos (0,5 puntos).

        Solución

 

PROBLEMA 4.

Dos postes de 3m y 4 m se hallan clavados verticalmente en el suelo. Sus bases distan 5 m y, en el segmento que las une, hay un punto P que dista x metros de la base del poste más bajo. El extremo superior de cada poste se une con P mediante un segmento rectilíneo de cable. Se pide:

a) Obtener la expresión f(x) de la longitud total de cable utilizado en ambos segmentos (1,8 puntos).

b) Demostrar que esa longitud total de cable es mínima cuando son iguales los valores absolutos de las pendientes de los dos segmentos considerados (1 punto). Calcular esa longitud mínima (0,5 puntos).

        Solución

 

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