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Matemáticas II                                              Septiembre 2008

 

Características de la prueba.

Se elegirán TRES bloques y se hará un problema de cada uno de ellos.

Cada problema se puntuará de 0 a 3,3, según la puntuación máxima de cada apartado.

La suma de las puntuaciones más 0,1 será la calificación de la prueba.

Cada estudiante deberá disponer de una calculadora científica o gráfica para la realización del examen. Se prohíbe su utilización indebida (para guardar fórmulas en memoria). Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos o gráficos deben estar debidamente justificados.

 

Bloque 1. ÁLGEBRA LINEAL.

 

Problema 1.1. Dada la matriz

y el vector

, se pide obtener razonadamente

a) El vector  X  tal que    A X = 0X.   (1,1 puntos).

b) Todos los vectores  X  tales que    A X = 3X.   (1,1 puntos).

c) Todos los vectores  X  tales que    A X = 2X.   (1,1 puntos).

        Solución

 

Problema 1.2. Dado el sistema de ecuaciones lineales 

, se pide:

a) Probar que es compatible para todo valor de α. (1,3 puntos).

b) Obtener razonadamente el valor de α  para el que el sistema es indeterminado. (1 punto).

c) Resolver el sistema cuando α = 0, escribiendo los cálculos necesarios para ello. (1 punto).

        Solución

 

 

Bloque 2. GEOMETRÍA.

 

Problema 2.1. Dados los planos   π1: x + y + z = 3    y    π2: x + y – α z = 0, se pide calcular razonadamente:

a) El valor de α  para que los planos  π1  y  π2 sean perpendiculares y, para este valor de α, obtener las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de estos dos planos. (1,5 puntos).

b) El valor de α  para que los planos  π1  y  π2 sean paralelos y, para este valor de α, obtener la distancia entre los dos planos  π1  y  π2 . (1,8 puntos).

        Solución

 

Problema 2.2. Dados el punto O = ( 0 , 0 , 0 )  y el plano   π: x + y + z = 6, se pide calcular razonadamente:

a) La ecuación de la recta  r  que pasa por  O  y  es perpendicular al plano  π. (1,1 puntos).

b) Las coordenadas del punto simétrico de  O  respecto del plano  π. (1,1 puntos).

c) La ecuación del plano que contiene al eje X   y a la recta  r. (1,1 puntos).

        Solución

 

 

Bloque 3. ANÁLISIS.

 

Problema 3.1. Dada la función  f(t) = a t + b  (con  a y b  constantes reales), se define . Se pide obtener razonadamente:

a)   La integral

 

(1,5 puntos).

b)      La expresión de la derivada  F´(x)  de la función  F(x). (0,5 puntos).

c)      La relación entre los valores   a   y   b    para la que se verifica:  F´´(0) = 0. (1,3 puntos).

        Solución

 

Problema 3.2. Para ­cada número real positivo α, se considera la función  g(x) = x2 + α. Se pide calcular razonadamente:

a) El área de la región del plano limitada por el eje X, el eje Y, la recta  y la curva y = g(x). (2 puntos).

b) El valor de α  para el que la curva   y = x2 + α   divide al rectángulo de vértices (0,0), (,0), (, 6 + α), (0, 6 + α) en dos regiones de igual área. (1,3 puntos).

        Solución

 

 

Bloque 4. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.

 

Problema 4.1. Un móvil se mueve con velocidad constante de 2m/s, en el primer cuadrante, sobre la recta x = 1, partiendo del punto  M = (1,0) situado a 1 m del origen. Se pide obtener razonadamente:

a)      Las coordenadas del punto  M(t)  donde está situado el móvil después de  t  segundos. (1 punto).

b)     La función  m(t) igual a la pendiente de la recta que pasa por el punto O = (0,0)  y por el punto  M(t). (1,3 puntos).

c)      La derivada de la función  m(t). (1 punto).

        Solución

 

Problema 4.2. En un terreno con forma de semicírculo de radio   metros, se dibuja un rectángulo que tiene dos vértices sobre la semicircunferencia del perímetro del terreno. Los otros dos vértices del rectángulo están sobre el segmento rectilíneo de dicho perímetro y distan x metros. Obtener razonadamente:

a)      El área del rectángulo en función de  x. (1,3 puntos).

b)     El valor de  x  para el que es máxima el área del rectángulo. (2 puntos).

        Solución

 

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