Matemáticas II Septiembre
2010
BAREMO DEL EXAMEN: Se
elegirá sólo UNA de las dos OPCIONES, A o B, y se han de hacer los tres
problemas de esa opción.
Cada problema se
puntuará hasta 10 puntos.
La calificación del
ejercicio será la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 3
y aproximada a las centésimas.
Cada estudiante podrá
disponer de una calculadora científica o gráfica para la realización del
examen. Se prohíbe su utilización indebida (para guardar fórmulas en memoria).
Se utilice o no la
calculadora, los resultados analíticos y gráficos deberán estar siempre
debidamente justificados.
OPCIÓN A
PROBLEMA A.1.
|
Dado
el sistema de ecuaciones lineales |
|
donde α es un parámetro real, se pide: |
a)
Deducir,
razonadamente, para qué valores de α es compatible
determinado. (4 puntos)
b)
Deducir,
razonadamente, para qué valores de α es compatible
indeterminado. (3 puntos)
c)
Resolver el
sistema en todos los casos en que es compatible indeterminado. (3
puntos)
PROBLEMA A.2. Se pide obtener razonadamente:
a)
La ecuación del
plano π que pasa por los puntos O = ( 0, 0, 0 ), A = ( 6, – 3, 0 ) y B =
( 3, 0, 1 ). (3 puntos)
b)
La ecuación de la
recta r
que pasa por el punto P = ( 8, 7,
– 2 ) y es perpendicular al plano π.
(3 puntos)
c)
El punto Q del plano π
cuya distancia al punto P es menor que la distancia de cualquier otro
punto del plano π al punto P.
(4 puntos)
PROBLEMA A.3. Dadas las
funciones f(x) = x3 y
g(x) = 2 x2 – x , se pide:
a)
Obtener
razonadamente los puntos de intersección
A y B de
las curvas y = f(x) e y =
g(x). (3 puntos)
b)
Demostrar
que f(x) ≥ g(x) cuando
x ≥ 0. (3 puntos)
c)
Calcular
razonadamente el área de la superficie limitada por las dos curvas entre los
puntos A
y B. (4
puntos)
OPCIÓN B
PROBLEMA B.1. Dadas las matrices
se
pide:
a)
Obtener razonadamente el valor de x para
que el determinante de la matriz A(x)
sea 6. (4 puntos)
b) Calcular razonadamente el determinante de la
matriz 2A(x). (2
puntos)
c)
Demostrar que la matriz B(y)
no tiene matriz inversa para ningún valor real de y. (4
puntos)
PROBLEMA B.2. Dadas las dos rectas
r y s de
ecuaciones
se
pide calcular razonadamente:
a)
Las coordenadas
del punto P de intersección de las rectas r
y s. (3
puntos)
b)
El ángulo que
forman las rectas r y s. (3
puntos)
c)
Ecuación
implícita A x + B y + C z + D = 0 del
plano π que contiene a las
rectas r
y s. (4
puntos)
PROBLEMA B.3. Dos elementos
de un escudo son una circunferencia y un triángulo. La circunferencia tiene
centro (0,0) y radio
5. Uno de los vértices del
triángulo es el punto A=(– 5,0). Los
otros dos vértices del triángulo son los puntos de la circunferencia B=(x,y)
y C=(x,– y). Se pide obtener
razonadamente:
a)
El área del
triángulo en función de x. (3 puntos)
b)
Los vértices B
y C para los que es máxima el área del triángulo. (5
puntos)
c)
El valor máximo
del área del triángulo. (2 puntos)