Matemáticas II Septiembre
2012
BAREMO DEL EXAMEN: Se
elegirá sólo UNA de las dos OPCIONES, A o B, y se han de hacer los tres
problemas de esa opción.
Cada problema se
puntuará hasta 10 puntos.
La calificación del
ejercicio será la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 3
y aproximada a las centésimas.
Cada estudiante podrá
disponer de una calculadora científica o gráfica para la realización del
examen. Se prohíbe su utilización indebida (para guardar fórmulas en memoria).
Se utilice o no la
calculadora, los resultados analíticos y gráficos deberán estar siempre
debidamente justificados.
OPCIÓN A
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PROBLEMA A.1.
Sea el sistema de ecuaciones |
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donde α es un parámetro real.
Obtener
razonadamente:
a)
La solución del
sistema S cuando α
= 0. (4
puntos).
b)
El valor de α para el que el sistema S tiene infinitas soluciones. (4
puntos).
c)
Todas las
soluciones del sistema S
cuando se da a α
el valor obtenido en el apartado b). (2 puntos).
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PROBLEMA A.2.
En el espacio se tiene la recta |
|
y
el plano π: x + m z = 0, donde m
es un parámetro real.
Obtener
razonadamente:
a)
El vector
director de la recta r.
(2 puntos).
b)
El valor de m para
el que la recta r y el plano
π son perpendiculares. (2
puntos).
c)
El valor de m para
el que la recta r y el plano
π son paralelos. (3
puntos).
d)
La distancia
entre r y π cuando se da a m el valor obtenido en el apartado c). (3
puntos).
PROBLEMA A.3. Se definen las
funciones f y g
por f(x) = – x2 + 2 x y
g(x) = x2 .
Obtener
razonadamente:
a)
Los intervalos de
crecimiento y decrecimiento de cada una de esas dos funciones. (2 puntos).
b)
El máximo
relativo de la función f(x) = – x2 + 2 x y el mínimo relativo de g(x) =
x2 . (2 puntos).
c)
Los puntos de
intersección de las curvas y = – x2 + 2 x e y = x2 . (2
puntos).
d)
El área encerrada
entre las curvas y = – x2 + 2 x e y
= x2 , donde en ambas curvas la
x varía entre
0 y 1. (4 puntos).
OPCIÓN B
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PROBLEMA B.1.
Se dan las matrices |
|
y B,
donde B es una |
matriz
de dos filas y dos columnas que no tiene ningún elemento nulo y que verifica la
relación B2 = – 7 B + U .
Obtener
razonadamente:
a)
Los números
reales a y b tales que
A2 = a A + b U . (4
puntos).
b)
Los números
reales p y q tales que
B-1 = p B + q U (2
puntos), justificando que la matriz
B tiene inversa (2 puntos).
c)
Obtener los
valores de x e y para los que se verifica que B3
= x B + y U (2 puntos).
PROBLEMA B.2. En el espacio se dan los planos π
, σ y τ
de ecuaciones:
π: 2 x – y + z = 3 ; σ: x – y + z = 2 ; τ: 3 x –y – a z = b,
siendo a y b
parámetros reales, y la recta r
intersección de los planos π
y σ.
Obtener
razonadamente:
a)
Un punto, el
vector director y las ecuaciones de la recta
r . (3
puntos).
b)
La ecuación del
plano que contiene a la recta r y pasa por el punto (2,1,3). (4
puntos).
c)
Los valores
de a y de b
para que el plano τ
contenga a la recta r,
intersección de los planos π
y σ. (3 puntos).
PROBLEMA B.3. Se desea
construir un depósito cilíndrico de
El
precio del material de la base del depósito es
4 euros/m2.
El
precio del material de la pared vertical es
2 euros/m2.
Obtener
razonadamente:
a)
El área de la
base en función de su radio x .
(1 punto).
b)
El área de la
pared vertical del cilindro en función de
x . (2
puntos).
c)
La función f(x) que
da el coste del depósito. (2 puntos).
d)
El valor x del radio de la base para que el coste del
depósito es mínimo y el valor de dicho coste mínimo. (5
puntos).