Ejercicio nº 53.-
Dividir
un segmento de 14 metros en tres partes, dos de las cuales sean tales que una
tenga el doble de longitud que la otra; de modo que la suma de las áreas de los
cuadrados construidos sobre ellas sea mínima:
Solución:
Sabemos
que x + 2x + y = 14 ® y = 14 - 3x
La
suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre cada parte es:
S
=
x2 + 4x2
+
y2 = 5x2
+
(14 -
3x)2 = f (x)
Buscamos x,
0 £ x £ 14/3, para que
f (x) sea mínima:
f '(x) = 10x + 2 (14 - 3x) · (-3) = 10x - 84 + 18x = 28x - 84
Veamos que se trata de un mínimo:
f ''(x) = 28 ; f ''(3)
> 0 ®
En x = 3
hay un mínimo.
Por
tanto, la suma de las áreas será mínima cuando
x = 3 m, 2x = 6 m, y = 5 m (en este
caso, dicha suma será de 70 m2).