Matemáticas II Junio 2003
Características de
la prueba.
Se ofertarán a los
alumnos dos ejercicios y éstos elegirán uno. Cada uno de dichos ejercicios
propondrá la resolución de cuatro problemas. Los alumnos tendrán que elegir
tres de entre los cuatro propuestos.
Independientemente
del ejercicio escogido, cada uno de los cuatro problemas propuestos contribuirá
por igual a la calificación del ejercicio.
Cada estudiante
deberá disponer de una calculadora científica o gráfica para la realización del
examen. Se prohíbe su utilización indebida (para guardar fórmulas en memoria).
EJERCICIO A
|
PROBLEMA 1.
Dado el sistema de ecuaciones lineales |
|
dependiente
del parámetro real |
|
,
se pide :
a)
Determinar para qué valores de 
el sistema es:
compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible (1,3
puntos).
b)
Obtener las soluciones en los casos
compatible determinado y compatible indeterminado (2
puntos).
PROBLEMA 2. a) Dibujar la recta de ecuación y = (2/π)
x y la curva de ecuación y = sen
x cuando –π/2 ≤ x ≤
π/2; obtener razonadamente por cálculo integral el área limitada entre la
recta y
la curva (1,6 puntos).
b)
Calcular la integral del producto de las dos funciones consideradas en el
apartado anterior, es decir 
, indicando los pasos realizados (1,7 puntos).
PROBLEMA 3. La
tabla siguiente muestra las alturas (en metros) y los pesos (en kilos) de un
grupo de 8 empleados de una empresa:
|
Altura |
1,75 |
1,58 |
1,80 |
1,50 |
1,65 |
1,75 |
1,85 |
1,63 |
|
Peso |
78 |
75 |
90 |
68 |
78 |
84 |
89 |
80 |
Las variables altura y peso
están fuertemente correlacionadas, siendo su coeficiente de correlación 0,9197.
a) Estimar, mediante regresión
lineal, el peso de un empleado que mida 1,72 metros (1,7 puntos).
b) Estimar, mediante regresión
lineal, la altura de un empleado que pese 80 kilos (1,6 puntos).
PROBLEMA 4. Sean r
y r´
las rectas del espacio 
, determinadas del modo siguiente:
r pasa por los puntos A = (3,6,7)
y B = (7,8,3) y r´ es la recta de
intersección de los planos de ecuaciones: x-4y-z=-10 y
3x-4y+z=-2. Se pide:
a)
Calcular de cada una de las rectas r y r´ una ecuación paramétrica y determinar la posición relativa de ambas (1 punto).
b)
Calcular la distancia d
entre las rectas r
y r´
(1,3 puntos).
c)
Calcular el área del triángulo de vértices A, B y C, siendo C un punto
cualquiera de la recta r´ (1 punto).
EJERCICIO B
PROBLEMA 1. a)
Calcular las matrices reales de orden 3,
X e Y, que satisfacen las ecuaciones
siguientes:
|
|
donde B
= |
|
y C
= |
|
(1,8 puntos). |
b) Si X e Y son las matrices anteriores, calcular la
matriz (2 X + Y )
X – ( 2 X + Y ) ( 2 Y ) (1,5 puntos).
PROBLEMA 2. Sea T
un triángulo de perímetro 60 cm. Uno de los lados del triángulo T mide x
cm y los otros dos lados tienen la misma
longitud.
a)
Deducir razonadamente las expresiones de las funciones A y f tales que:
A(x) = Área del triángulo T .
(1,3 puntos).
b)
Obtener, razonadamente, el valor de x
para el que f(x) alcanza el valor máximo
(2
puntos).
PROBLEMA 3. Un dado, cuyas caras están numeradas del 1 al 6 se
lanza cinco veces. Se pide la probabilidad de que el número 3 salga:
a)
Exactamente dos veces (1 punto). b) Una vez a lo sumo (1
punto). c) Más de dos veces (1,3
puntos).
NOTA:
Todos los números tienen la misma
probabilidad de salir en cada lanzamiento.
PROBLEMA 4. Sean r
la recta y π el plano de , determinados del siguiente modo:
r pasa por los puntos (2,2,4) y (-1,2,1)
y
el plano π pasa por los puntos (1,0,1), (1,-1,0) y (3,0,0).
Se pide:
a)
Probar que la recta r no es paralela a π
(1 punto).
b)
Calcular el punto P de intersección
de r y π y el
ángulo que forman la recta r
y el plano π (1 punto).
c)
Determinar los puntos S
y T de la recta r que cumplan que su distancia a π sea
4 (1,3 puntos).