Matemáticas II Junio 2004
Características de
la prueba.
Se ofertarán a los
alumnos dos ejercicios y éstos elegirán uno. Cada uno de dichos ejercicios
propondrá la resolución de cuatro problemas. Los alumnos tendrán que elegir
tres de entre los cuatro propuestos. EN NINGÚN CASO SE PODRÁ ELEGIR
SIMULTÁNEAMENTE EL PROBLEMA 4.1 Y EL PROBLEMA 4.2
Independientemente
del ejercicio escogido, cada uno de los cuatro problemas propuestos contribuirá
por igual a la calificación del ejercicio.
Cada estudiante
deberá disponer de una calculadora científica o gráfica para la realización del
examen. Se prohíbe su utilización indebida (para guardar fórmulas en memoria).
EJERCICIO A
PROBLEMA 1. Dado el sistema de ecuaciones lineales
con
λ parámetro real, se pide:
a)
Determinar
razonadamente para qué valores de λ es compatible determinado, compatible
indeterminado e incompatible. (1,3
puntos)
b)
Hallar el
conjunto de las soluciones del sistema para el caso compatible determinado. (1 punto)
c)
Hallar el
conjunto de las soluciones del sistema para el caso compatible indeterminado. (1 punto)
|
PROBLEMA 2. Dados los planos π1 : x + y + z =
-5 , π2 : x – 3 y - z
= 3 y la recta |
|
se
pide:
a)
Determinar
razonadamente la posición relativa de la recta
r y la recta s
intersección de los planos π1 y π2 . (1,7 puntos)
b)
Obtener
razonadamente la ecuación del plano que contiene a la recta s
anterior y es paralelo a r. (1,6 puntos)
|
PROBLEMA 3. Encontrar razonadamente el punto de la curva |
|
en
el que la recta tangente a la |
|
curva
tiene pendiente máxima y calcular el valor de esta pendiente. (3,3 puntos) |
||
|
PROBLEMA 4.1. En un plano, el trazado de una carretera discurre
según la ecuación |
|
siendo
un |
río
el eje OX. En el terreno entre el río y la carretera hay un pinar. Si expresamos
las distancias en kilómetros, ¿cuánto vale el pinar si la hectárea se paga a 60
euros?
PROBLEMA 4.2. La media de las calificaciones globales obtenidas por
10 alumnos fue 6,8 puntos y sus horas de estudio totales sumaron 120. Si x
representa las horas de estudio de cada estudiante e y su
calificación, el coeficiente de correlación entre x e y es 0,8. Sabiendo que la
desviación típica de x coincide con la de y, explicar, razonadamente, cómo se
obtiene la recta de regresión de y sobre x (2
puntos) y calcularla (1,3 puntos).
EJERCICIO B
PROBLEMA 1. Determina el valor real de x para
que se cumpla la siguiente propiedad:
|
el
determinante de la matriz 2B es 160, siendo B = |
|
(3,3 puntos). |
PROBLEMA 2. Se consideran la recta r: (x, y, z) = (t + 1, 2 t, 3 t), el plano π: x – 2 y – z = 0 y el punto P = (1, 1, 1). Se pide
a)
Determinar la
ecuación del plano π1 que pasa por el punto P y es paralelo al
plano π (0,9 puntos).
b)
Determinar la
ecuación del plano π2 que contiene a la recta r y
pasa por el punto P (1,2 puntos).
c)
Calcular la
ecuación paramétrica de la recta intersección de los planos anteriores, π1
y π2 (1,2 puntos).
|
PROBLEMA 3. Hallar todos los valores reales z
tales que |
|
(3,3 puntos). |
PROBLEMA 4.1. Desde un punto N de la orilla del mar, un nadador
debe alcanzar una boya que flota a 3 kilómetros de la costa y dista 3
kilómetros del punto N. Si recorriendo la orilla (que se
supone recta y plana), su velocidad media es de 5 kilómetros por hora y
nadando, de 3 kilómetros por hora, ¿cuánto tiempo deberá caminar hasta lanzarse
al mar, para alcanzar la boya en el menor tiempo posible? (3,3 puntos)
PROBLEMA 4.2. La estatura de una población se distribuye
normalmente con media 1,70 metros y desviación típica 0,1 metros.
a)
Se selecciona una persona al azar. Explicar
razonadamente cómo se obtiene la probabilidad de que su estatura sea menor de
1,72 metros y calcular dicha probabilidad (1
punto).
b)
Se seleccionan al azar tres personas. Obtener
razonadamente la probabilidad de que sólo una de las personas seleccionadas
mida más de 1,72 metros (2,3 puntos).