Matemáticas II Junio
2016
BAREMO DEL EXAMEN: Se elegirá sólo
UNA de las dos OPCIONES, A o B, y se han de hacer los tres problemas de esa
opción.
Cada problema se puntuará hasta 10
puntos.
La calificación del ejercicio será
la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 3 y aproximada a
las centésimas.
Se permite el uso de calculadoras siempre
que no sean gráficas o programables, y que no puedan realizar cálculo simbólico
ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los
resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar siempre debidamente
justificados.
OPCIÓN A
PROBLEMA A.1. Se da el sistema de ecuaciones |
|
Donde a es un parámetro real. Obtener razonadamente, escribiendo todos
los pasos del razonamiento utilizado:
a)
Los valores del parámetro a para los cuales el sistema es incompatible (4 puntos)
b) Todas las soluciones del sistema cuando este sea
compatible indeterminado. (3 puntos)
c)
La solución del sistema cuando a =
– 1. (3
puntos)
PROBLEMA A.2.
Se dan las rectas |
|
Obtener
razonadamente, escribiendo
todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)
La recta paralela
a r que pasa por el punto (0,1,0).
(3 puntos)
b)
El plano π
que contiene a la recta r
y es paralelo a s. (3 puntos)
c)
La distancia
entre las rectas r y s. (4 puntos)
PROBLEMA A.3.
Se da la función f definida por |
|
|
Obtener
razonadamente, escribiendo
todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)
Dominio y
asíntotas de la función f . (2 puntos)
b)
Intervalos de
crecimiento y decrecimiento de la función
f . (3
puntos)
c)
La
integral |
|
(3 puntos) |
d)
El valor de a>4
para el que el área de la superficie limitada por la curva y =
f(x) y las rectas y = 0,
x = 4 y x = a
es ln(3/2). (4
puntos)
OPCIÓN B
PROBLEMA B.1.
Se da la matriz |
|
|
Obtener
razonadamente, escribiendo todos los pasos del
razonamiento utilizado:
a)
La comprobación
de que A-1 = 5-1 At, siendo At la matriz traspuesta de A.
(4 puntos)
b)
Los valores del
parámetro real l para los
cuales A – l I no
es invertible, siendo I la matriz identidad de orden 3. (3 puntos)
c)
El determinante
de una matriz cuadrada B
cuyo determinante es mayor que 0
y verifica la ecuación B -1= B t. (3 puntos)
PROBLEMA B.2. Se da el plano
π: 6 x + 3 y + 2 z – 12 = 0 y los
puntos A(1,0,0), B(0,2,0)
y C(0,0,3).
Obtener
razonadamente, escribiendo
todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)
La
ecuación implícita del plano
s que pasa por los puntos
A, B y C, (2 puntos)
y la
posición relativa de los planos s y π. (2
puntos)
b)
El área del
triángulo de vértices A, B y C. (3
puntos)
c)
Un punto P
del plano π y el volumen del tetraedro cuyos vértices son P, A,
B y C. (3 puntos)
PROBLEMA B.3. Cada día, una planta productora de acero vende x toneladas de acero de baja calidad e y toneladas de acero de alta calidad. Por
restricciones del sistema de producción
debe suceder que |
|
siendo |
|
El precio de una tonelada de acero de alta calidad es de 900 euros y el precio de una tonelada de acero de baja calidad es de 300 euros.
Obtener
razonadamente, escribiendo
todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)
Los ingresos obtenidos en un día en función de x. (3 puntos)
b) Cuántas toneladas de cada tipo de acero se deben
vender en un día para que los ingresos obtenidos ese día sean máximos. (5 puntos)
c)
El ingreso máximo
que se puede obtener por las ventas de acero en un día. (2 puntos)