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Matemáticas II              Junio 2016

 

BAREMO DEL EXAMEN: Se elegirá sólo UNA de las dos OPCIONES, A o B, y se han de hacer los tres problemas de esa opción.

Cada problema se puntuará hasta 10 puntos.

La calificación del ejercicio será la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 3 y aproximada a las centésimas.

Se permite el uso de calculadoras siempre que no sean gráficas o programables, y que no puedan realizar cálculo simbólico ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar siempre debidamente justificados.

 

OPCIÓN A

 

PROBLEMA A.1. Se da el sistema de ecuaciones

Donde  a  es un parámetro real. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)     Los valores del parámetro  a   para los cuales el sistema es incompatible   (4 puntos)

b)    Todas las soluciones del sistema cuando este sea compatible indeterminado.   (3 puntos)

c)     La solución del sistema cuando  a = – 1.   (3 puntos)

        Solución

 

 

PROBLEMA A.2. Se dan las rectas   

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)    La recta paralela a  r  que pasa por el punto  (0,1,0).   (3 puntos)

b)    El plano  π  que contiene a la recta  r  y es paralelo a  s.   (3 puntos)

c)     La distancia entre las rectas  r  y  s.   (4 puntos)

        Solución

 

 

PROBLEMA A.3. Se da  la función  f  definida por    

 

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)    Dominio y asíntotas de la función  f .   (2 puntos)

b)    Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función  f .   (3 puntos)

c)     La integral 

(3 puntos)

d)    El valor de  a>4  para el que el área de la superficie limitada por la curva  y = f(x) y las rectas  y = 0,  x = 4   y   x = a   es  ln(3/2).   (4 puntos)

        Solución

 

 

OPCIÓN B

 

PROBLEMA B.1. Se da la matriz   

 

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)    La comprobación de que  A-1 = 5-1 At,  siendo  At  la matriz traspuesta de   A.   (4 puntos)

b)    Los valores del parámetro real  l  para los cuales   A – l I  no es invertible, siendo  I  la matriz identidad de orden 3.   (3 puntos)

c)     El determinante de una matriz cuadrada  B  cuyo determinante es mayor que 0  y verifica la ecuación   B -1= B t.   (3 puntos)

        Solución

 

 

PROBLEMA B.2. Se da el plano   π: 6 x + 3 y + 2 z – 12 = 0   y los puntos  A(1,0,0),  B(0,2,0)  y  C(0,0,3).

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)     La  ecuación  implícita del  plano   s   que pasa  por  los  puntos  A, B y C,    (2 puntos)

     y la posición relativa de los planos   s   y   π.    (2 puntos)

b)    El área del triángulo de vértices  A, B y C.   (3 puntos)

c)     Un punto  P  del plano  π   y el volumen del tetraedro cuyos vértices son    P, A, B y C.   (3 puntos)

        Solución

 

 

PROBLEMA B.3. Cada día, una planta productora de acero vende  x  toneladas de acero de baja calidad e  y  toneladas de acero de alta calidad. Por restricciones del sistema de  producción

debe suceder que

siendo

El precio de una tonelada de acero de alta calidad es de 900 euros y el precio de una tonelada de acero de baja calidad es de 300 euros.

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)     Los ingresos obtenidos en un día en función de  x.   (3 puntos)

b)    Cuántas toneladas de cada tipo de acero se deben vender en un día para que los ingresos obtenidos ese día sean máximos.   (5 puntos)

c)     El ingreso máximo que se puede obtener por las ventas de acero en un día.   (2 puntos)

        Solución

 

 

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