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Matemáticas II Modelo 2025

BAREMO DEL EXAMEN: Cada problema se puntuará hasta 2,5 puntos.

La calificación del ejercicio será la suma de las calificaciones de cada problema.

Se permite el uso de calculadoras siempre que no sean gráficas o programables, y que no puedan realizar cálculos simbólicos ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar siempre debidamente justificados.

A partir de la tercera falta de ortografía se deducirán -0,10 puntos hasta un máximo de un punto.

Por errores en la redacción, en la presentación, falta de coherencia, falta de cohesión, incorrección léxica e incorrección gramatical se podrá deducir un máximo de medio punto.

PREGUNTA 1: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA (2,5 puntos)

Una finca agrícola cultiva tres tipos de plantas que producen: tomates, pimientos y calabacines. Estas plantas son susceptibles de sufrir una plaga que puede afectar su rendimiento. La finca utiliza tres métodos de control de plagas: control biológico, pesticidas químicos y métodos orgánicos. La efectividad de cada método varía según el tipo de planta.

· El 50% del área está dedicada a tomates, el 30% a pimientos y el 20% a calabacines.

· Para los tomates, la finca utiliza control biológico en el 40% de la finca, pesticidas químicos en el 30% y métodos orgánicos en el 30%.

· Para los pimientos, la finca utiliza control biológico en el 30%, pesticidas químicos en el 40% y métodos orgánicos en el 30%.

· Para los calabacines, se utiliza control biológico en el 20%, pesticidas químicos en el 50% y métodos orgánicos en el 30%.

La efectividad de cada método de control para evitar la plaga, en porcentaje, es la siguiente:

· Para los tomates:

o El control biológico tiene un 85% de efectividad.

o Los pesticidas químicos tienen un 95% de efectividad.

o Los métodos orgánicos tienen un 80% de efectividad.

· Para los pimientos:

o El control biológico tiene un 80% de efectividad.

o Los pesticidas químicos tienen un 90% de efectividad.

o Los métodos orgánicos tienen un 75% de efectividad.

· Para los calabacines:

o El control biológico tiene un 70% de efectividad.

o Los pesticidas químicos tienen un 85% de efectividad.

o Los métodos orgánicos tienen un 65% de efectividad.

Responda a todos los apartados

1.1 (0.75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que una planta seleccionada al azar en toda la finca esté libre de plagas (sin importar qué tipo de planta ni el método utilizado)?

1.2 (0.75 puntos) Si se sabe que una planta seleccionada está libre de plagas, ¿cuál es la probabilidad de que esa planta sea un pimiento?

1.3 (1 punto) Un consumidor compra 11 tomates que han sido controlados mediante métodos orgánicos. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 3 de ellos hayan evitado los efectos de la plaga?

Solución

PREGUNTA 2: ÁLGEBRA (2,5 puntos)

Responda al apartado 2.1 o al apartado 2.2

2.1 Responda a todos los subapartados siguientes:

Sea el sistema de ecuaciones lineales

donde a es un parámetro real. Se pide:

2.1.1 (1.25 puntos) Discutir el sistema en función del parámetro a.

2.1.2 (1.25 puntos) Calcular las soluciones del sistema cuando éste sea compatible.

Solución

2.2 Responda a todos los subapartados siguientes:

Se dan las matrices

Obtener (con los cálculos intermedios necesarios, así como con la mención explícita de los teoremas o propiedades utilizados):

2.2.1 (1.25 puntos) Las matrices A^-1 y B = A³ – 3 A² + 5 A.

2.2.2 (1.25 puntos) Los valores α y β tales que a A² + b A + U = A^-1.

Solución

PREGUNTA 3: GEOMETRÍA (2,5 puntos)

Responda al apartado 3.1 o al apartado 3.2

3.1 Responda a todos los subapartados siguientes:

Dadas las rectas

, obtener:

3.1.1 (1.25 puntos) La ecuación del plano p paralelo a ambas y que pase por el origen.

3.1.2 (1.25 puntos) La distancia de un punto de r y de un punto de s al plano p.

Solución

3.2 Responda a todos los subapartados siguientes:

Dadas la recta r y el plano π, de ecuaciones

con a y b parámetros reales, obtener:

3.2.1 (1 punto) Los valores del parámetro a para los que r y p se cortan en un único punto y calcular las coordenadas de dicho punto en función del parámetro a.

3.2.2 (1.5 puntos) Los valores de a y b tales que la recta r esté contenida en el plano π y los valores de los parámetros para que la recta r no corte al plano π.

Solución

PREGUNTA 4: ANÁLISIS (2,5 puntos)

Responda al apartado 4.1 o al apartado 4.2

4.1 Responda a todos los subapartados siguientes:

Se dan las funciones polinómicas f(x) = – x² + x + 2 y g(x) = x² – b , siendo b un parámetro real.

Obtener:

4.1.1 (1.25 puntos) El valor de  b  para que uno de los puntos de intersección de las curvas
y = – x² + x + 2 e y = x² – b sea el punto P= ( – 1 , 0 ). Un esquema de las curvas y = – x² + x + 2 e y = x² – 1.

4.1.2 (1.25 puntos) El área de la superficie finita encerrada entre las curvas
y = – x² + x + 2 e y = x² – 1.

Solución

4.2 Responda a todos los subapartados siguientes:

Una ventana Norman está formada por un rectángulo y un semicírculo. El semicírculo está apoyado sobre el lado horizontal superior del rectángulo, que coincide con el diámetro horizontal del semicírculo.

La base del rectángulo mide x y su altura mide y, por lo que el diámetro del semicírculo mide x.

Obtener:

4.2.1 (1 punto) La expresión S(x) que da el área de una ventana Norman de perímetro 5 metros en función de su anchura x.

4.2.2 (1.5 puntos) El valor de x para el que la función S(x) tenga un máximo relativo y el valor de dicha área máxima.

Solución

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