Matemáticas II Septiembre 2005
Características de
la prueba.
Se ofertarán a los
alumnos dos ejercicios y éstos elegirán uno. Cada uno de dichos ejercicios
propondrá la resolución de cuatro problemas. Los alumnos tendrán que elegir
tres de entre los cuatro propuestos. EN NINGÚN CASO SE PODRÁ ELEGIR
SIMULTÁNEAMENTE EL PROBLEMA 4.1 Y EL PROBLEMA 4.2
Independientemente
del ejercicio escogido, cada uno de los cuatro problemas propuestos contribuirá
por igual a la calificación del ejercicio.
Cada estudiante
deberá disponer de una calculadora científica o gráfica para la realización del
examen. Se prohíbe su utilización indebida (para guardar fórmulas en memoria).
EJERCICIO A
PROBLEMA 1. Dadas las matrices |
|
calcular razonadamente la matriz |
|
que
satisface la ecuación ( A B´ + C ) X = ( A´ D ) E, |
donde
M´ significa la matriz traspuesta de la matriz M (3,3
puntos).
PROBLEMA 2. Un paralelepípedo rectangular (u ortoedro) tiene tres
de sus aristas sobre las rectas:
|
y
uno de sus vértices es ( 12, 21, -11). Se pide: |
a) Hallar los vértices restantes (2,5 puntos). b) Calcular su volumen (0,8 puntos).
PROBLEMA 3. a) El perímetro de un sector circular de radio R es 4 m. ¿Cuántos radianes debe medir su ángulo central para que su área
sea máxima? (1,8 puntos). (Nota: Perímetro = 2 R + R ; Área=½R2)
b) El área de otro sector
circular es 1 m2. ¿Para qué radio es mínimo su perímetro? (1,5 puntos).
PROBLEMA 4.1. El caudal de
agua (es decir, el volumen por unidad de tiempo) que circula por una tubería
cilíndrica es proporcional a la cuarta potencia de su radio. Para abastecer a
una población, se han previsto tuberías de cierto radio, pero el fabricante las
suministra de un radio que es un 0,5% menor. Estimar en qué porcentaje se
reducirá el caudal real respecto del previsto. (3,3 puntos).
PROBLEMA 4.2. Las coordenadas
x e y
de los puntos (6; 4,5), (3; 2,4), (9; 6,6) y (5; 10) son las
calificaciones de cinco alumnos en Matemáticas y Física. a) Representar los 5
puntos en unos ejes OXY y dibujar aproximadamente la recta de regresión de y
sobre x (0,5 puntos) y deducir
razonadamente a cuál de los números -1, -0,5 ó 0,5 está más próximo el
coeficiente de correlación (1 punto).
b)
Calcular el coeficiente de correlación de los cuatro primeros alumnos (0,3 puntos), explicando el resultado
obtenido e interpretándolo gráficamente (1,5
puntos).
EJERCICIO B
PROBLEMA 1. En el mercado
podemos encontrar tres alimentos preparados para gatos que se fabrican
poniendo, por kilo, las siguientes cantidades de carne pescado y verdura:
·
Alimento Migato: 600 g de carne, 300 g de pescado
y 100 g de verdura.
·
Alimento Catomeal: 300 g de carne, 400 g de
pescado y 300 g de verdura.
·
Alimento Comecat: 200 g de carne, 600 g de
pescado y 200 g de verdura.
Si
queremos ofrecer a nuestro gato 470 g de carne, 370 g de pescado y 160 g de
verdura por kilo de alimento, ¿qué porcentaje de cada uno de los compuestos
anteriores hemos de mezclar para obtener la proporción deseada? (3,3 puntos)
PROBLEMA 2. Dados los planos : 5 x – y – z = 0 , : x + y – z = 0 y el punto P (9, 4, -1), determinar:
a)
La ecuación del
plano que pasa por P y es perpendicular a y a (1,5 puntos).
b)
El punto
simétrico de P respecto de la recta r,
intersección de los planos y (1,8 puntos).
PROBLEMA 3. En el plano se tiene la curva y = x2
+ 2 x – 1. Encontrar razonadamente las ecuaciones de las rectas que pasan
por el punto (2, 3) y son tangentes a dicha curva (3,3
puntos).
PROBLEMA 4.1. El trazado de dos canales navegables en un mapa
discurre según las rectas y=x
e y=-x. Dos lanchas motoras, A y B, salen al mismo tiempo de puntos
situados sobre cada uno de los canales a distancias de 20 y 15 km,
respectivamente, del punto P de confluencia de ambos. La lancha A se dirige a P
con una velocidad de 30 km/h y la lancha B se dirige a ese mismo punto con
velocidad 60 km/h. Se considera despreciable la anchura de los canales y la
longitud de las lanchas y se pide calcular:
a)
La distancia
entre las lanchas en función del tiempo desde que inician su recorrido (2,3
puntos).
b)
La distancia
mínima a la que pueden estar las lanchas
(1 punto).
PROBLEMA 4.2. El peso de los estudiantes de una universidad se
distribuye normalmente, con media aritmética 65 kilos y desviación típica 1,5
kilos. Obtener razonadamente:
a)
El tanto por
ciento de estudiantes con peso entre 63,5 y 68 kilos (1,5 puntos).
b)
La probabilidad
de que al elegir al azar 3 estudiantes dos pesen más de 68 kilos (1,8 puntos).