Matemáticas aplicadas a las
Ciencias Sociales II Junio 2017
BAREMO
DEL EXAMEN:
Se
elegirá solo UNA de las dos opciones A o B, y se han de hacer los tres problemas
de esa opción.
Cada problema se valorará de
Se permite el uso de calculadoras siempre
que no sean gráficas o programables, y que no puedan realizar cálculo simbólico
ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los
resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar siempre debidamente
justificados.
OPCIÓN A
Todas las respuestas han de estar debidamente
razonadas.
Problema 1. Una
empresa produce dos tipos de cerveza artesanal, A y B. La demanda mínima de
cerveza tipo A es de 200 litros diarios. La producción de cerveza tipo B es al
menos el doble que la de tipo A. La infraestructura de la empresa no permite
producir en total más de 900 litros diarios de cerveza. Los beneficios que
obtiene por litro de A y B son 2 y 2,5 euros, respectivamente. ¿Cuántos litros
diarios se han de producir de cada tipo para maximizar el beneficio? ¿Cuál es
dicho beneficio máximo?
Problema 2. Dada
la función f(x) = x3 – 2 x2 + x, se pide:
a)
Su dominio y puntos
de corte con los ejes coordenados.
b)
Intervalos de
crecimiento y decrecimiento.
c)
Máximos y mínimos
locales.
d)
Representación
gráfica.
e)
A partir de los
resultados obtenidos en los apartados anteriores, razona en qué puntos la
función g(x) = ( x – 2 )3 – 2 ( x – 2 )2 + x – 2 tiene un máximo y mínimo local.
Problema 3. Imagina
cinco sillas alineadas 1, 2, 3, 4, 5 y que un individuo está sentado
inicialmente en la silla central (número 3). Se lanza una moneda al aire y, si
el resultado es cara, se desplaza a la silla situada a su derecha, mientras que
si el resultado es cruz, se desplaza a la situada a su izquierda. Se realizan
sucesivos lanzamientos (y los cambios de silla consecutivos correspondientes)
teniendo en cuenta que si tras alguno de ellos llega a sentarse en alguna de
las sillas de los extremos (1 o 5), permanecerá sentado en ella con
independencia de los resultados de los lanzamientos posteriores. Se pide:
a)
Dibujar el
diagrama de árbol para cuatro lanzamientos de moneda.
b)
La probabilidad
de que tras los tres primeros
lanzamientos esté sentado de nuevo en la silla central (3).
c)
La probabilidad
de que tras los tres primeros
lanzamientos esté sentado en alguna de las sillas de los extremos (1 o 5).
d) La probabilidad de que tras los cuatro primeros lanzamientos esté sentado en alguna de las sillas de los extremos (1 o 5).
OPCIÓN B
Todas las respuestas han de ser debidamente razonadas
Problema 1. Determina las matrices X e
Y que satisfacen las relaciones siguientes:
X + 2 Y = At
+ B
X – Y = A B
donde At representa la matriz traspuesta de A y las matrices A y
B son
Problema 2. Un
analista pronostica que el beneficio B(x)
en miles de euros de cierto fondo de inversión, donde x representa la cantidad invertida en miles de euros, viene dado
por la siguiente expresión:
a)
Estudia la
continuidad de B(x).
b)
Calcula los
intervalos de crecimiento y decrecimiento.
c)
¿Qué capital, en
euros, conviene invertir en este fondo para maximizar el beneficio? ¿Cuál será
dicho beneficio máximo?
d)
Si se invierte un
capital muy elevado, ¿cuál sería como mínimo su beneficio? ¿Por qué?
Problema 3. Una
compañía de transporte interurbano cubre el desplazamiento a tres municipios
distintos. El 35% de los recorridos diarios realizados por los autobuses de
esta compañía corresponden al destino 1, el 20% al destino 2 y el 45% al
destino 3. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un recorrido de
autobús sufra un retraso es del 2%, 5% y 3% para cada uno de los destinos 1, 2
y 3, respectivamente.
a)
¿Qué porcentaje
de los recorridos diarios de esta compañía llegan con puntualidad a su destino?
b)
¿Cuál es la
probabilidad de que un recorrido seleccionado al azar corresponda al destino 2
y haya experimentado un retraso?
c)
Si seleccionamos
un recorrido al azar y resulta que sufrió un retraso, ¿cuál era el destino más
probable de dicho recorrido?