Matemáticas II Junio
2026
BAREMO DEL EXAMEN: Cada
problema se puntuará hasta 2,5 puntos.
La calificación del
ejercicio será la suma de las calificaciones de cada problema.
Se permite el uso de
calculadoras siempre que no sean gráficas o programables, y que no puedan
realizar cálculos simbólicos ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se
utilice o no la calculadora, los resultados analíticos, numéricos y gráficos
deberán estar siempre debidamente justificados.
A partir de la
tercera falta de ortografía se deducirán -0,10 puntos hasta un máximo de un
punto.
Por errores en la
redacción, en la presentación, falta de coherencia, falta de cohesión,
incorrección léxica e incorrección gramatical se podrá deducir un máximo de
medio punto.
En las
respuestas se deben escribir todos los pasos del razonamiento utilizado.
PREGUNTA 1: PROBABILIDAD
Y ESTADÍSTICA (2,5 puntos)
En un país se ha detectado
una enfermedad X transmitida por el virus VirusX. Se sabe que la enfermedad la
padece el 20% de la población. Para detectarla, se usa un test de antígenos
que, entre personas enfermas da positivo en el 90% de los casos y entre
personas sanas da positivo en el 5% de los casos. Se pide:
Responda a todos los
apartados
1.1 (0.75 puntos) Calcular la
probabilidad de que, al realizar el test a una persona del país al azar, dicho
test dé positivo.
1.2 (0.75
puntos) Calcular la probabilidad de que una persona esté sana sabiendo que
ha dado positivo en el test.
1.3 (1
punto) Si tomamos 8 personas de la población al azar, ¿cuál es la
probabilidad de que como máximo dos de ellas tengan la enfermedad?
PREGUNTA 2: ÁLGEBRA (2,5 puntos)
Responda al apartado 2.1 o al apartado 2.2
2.1 El estado tensional en un punto de un sólido elástico se define a
partir de una matriz
|
cuadrada T de orden 3. El vector tensión en la
dirección de |
|
viene dado por |
U = T v. Para
se pide:
2.1.1 (1 punto) Discutir el sistema de ecuaciones lineales T v = u
en función del parámetro real m.
2.1.2 (0.75 puntos) Resolver el sistema T v = u para m =
– 1.
2.1.3 (0.75 puntos) Se llaman tensiones principales de T a los valores reales a tales que det(T − a I) = 0, siendo I la matriz identidad. Calcular las tensiones principales para m = 2.
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2.2 Decimos
que una matriz cuadrada es ortogonal cuando su matriz inversa coincide con su
matriz transpuesta.
Se pide:
2.2.1
(0.75 puntos) Comprobar que para
todo valor real a la matriz
es
ortogonal.
2.2.2
(0.75 puntos) Determinar los valores de a y b
para que la matriz
sea
ortogonal. ¿Cuántas matrices ortogonales de esta forma existen?
2.2.3 (1 punto) Resuelve la ecuación
matricial con incógnita X
donde B es
una matriz ortogonal como la del apartado anterior.
PREGUNTA 3: GEOMETRÍA (2,5 puntos)
Responda al apartado 3.1 o al apartado 3.2
|
3.1 Dada la recta
|
|
se pide: |
3.1.1 (0.5 puntos) El
valor de m para el que p y r son perpendiculares.
3.1.2 (0.75 puntos) El
valor de m para el que p y r son paralelos.
3.1.3 (1.25 puntos)
Calcular, cuando sea posible, el punto de intersección entre p y r en función del parámetro real m.
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|
3.2 Consideramos la recta s
del espacio con ecuación: |
|
|
Se pide:
3.2.1 (0.5 puntos) Encontrar una ecuación del
plano que pasa por el punto (1,1,1) y es
perpendicular a s.
3.2.2 (1 punto) Encontrar los puntos de la
recta s que están a distancia 4 del
origen.
3.2.3 (1
punto) Calcular el ángulo que forma la recta s con el eje Z.
PREGUNTA 4: ANÁLISIS (2,5 puntos)
Responda al apartado 4.1 o al apartado 4.2
4.1 Consideremos la función real de variable
real
se pide:
4.1.1 (0.5 puntos) Hallar
el dominio y estudiar la continuidad de la función f.
4.1.2
(0.5 puntos) Hallar las asíntotas
y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f.
4.1.3 (1 punto) Calcular, si existen, los
valores máximos y mínimos relativos y absolutos de la función f.
4.1.3 (0.5 puntos) Representar la función f.
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4.2 Un decorador desea pintar una pared rectangular de 12 metros de largo
por 3 de alto. Para ello supone que la esquina inferior izquierda de la pared
corresponde al origen de coordenadas de un plano y pinta en la pared la curva
de ecuación
A continuación, el
decorador colorea en rojo la parte de la pared que queda por encima de la curva
y en verde la que queda por debajo. Se pide:
4.2.1 (1 punto) Dibujar la parte de la curva
anterior que corresponde a la pared, detallando los cortes con los ejes, los
extremos absolutos, y la monotonía de la función en el intervalo [0,12].
4.2.2 (1.5 puntos) Calcular el área de la pared
que tiene color verde y la que tiene color rojo.
4.2.3 (1.5 puntos) La parte verde se pinta
usando botes de pintura capaces de cubrir 3 metros cuadrados cada uno. ¿Cuál es
el mínimo número de botes que vamos a necesitar para pintar la parte verde?