Matemáticas II Julio
2024
BAREMO DEL EXAMEN: El alumno contestará
solo CUATRO problemas entre los OCHO propuestos.
Cada problema se puntuará hasta 10 puntos.
La calificación del ejercicio será
la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 4 y aproximada a
las centésimas. Se permite el uso de calculadoras siempre que no sean gráficas o
programables, y que no puedan realizar cálculo simbólico ni almacenar texto o
fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos,
numéricos y gráficos deberán estar siempre debidamente justificados.
En las respuestas se deben escribir
todos los pasos del razonamiento utilizado.
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Problema 1.
Se considera la matriz |
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donde k es un parámetro real. |
a) ¿Para qué valores del parámetro k la matriz
A es invertible? (2
puntos)
b) Para k = 0, si existe, calcular la matriz
inversa de A. (4 puntos)
c) Para k = 0, hallar las matrices diagonales D que verifican A D =
D A. (4 puntos)
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Problema 2.
Se consideran las matrices |
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Se pide: |
a) Estudiar los valores del parámetro real a para los que la ecuación matricial A2
X = B tiene una única solución. (5 puntos)
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b) Sabiendo que el vector |
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es una solución de la
ecuación A2 X = B, encontrar el |
valor de a,
b y g dependiendo
del parámetro real a. (5 puntos)
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Problema 3.
Se dan las rectas |
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Se pide: |
.a)
Comprobar que se
cortan y calcular las coordenadas del punto
P de intersección. (5
puntos)
b)
Determinar la
ecuación de la recta que pasa por P y es perpendicular a r y
a s. (5 puntos)
Problema 4. Sea el
plano p: 6 x + 4 y – 3
z – d = 0. Se pide:
a) Calcular los valores de d para que la distancia del plano al origen sea
una unidad.
(2 puntos)
b) Calcular, en función del parámetro d,
las coordenadas de los puntos A, B y C que resultan de intersectar el plano p con los ejes
de coordenadas, X, Y y Z,
respectivamente. (3 puntos)
c) Para d ¹ 0, calcular el ángulo formado por los vectores 
determinados por los
puntos del apartado anterior. (5 puntos)
Problema 5. Se considera la función h(x) =
a x + x2 donde a es un parámetro real. Se pide:
a) El valor de a
que hace que la gráfica de la función
y = h(x) tenga un mínimo
relativo en la abcisa 
(3 puntos)
b) Para el valor de
a del apartado anterior, dibuja las curvas y = h(x) e y
= h´(x).
(2 puntos)
c) Calcula el área del plano comprendida entre ambas
curvas.
(5 puntos)
Problema 6. Se
construye una caja de cartón sin tapa a partir de una hoja rectangular de 16 cm
por 10 cm. Esto se hace recortando un cuadrado de longitud x en cada esquina, doblando la hoja y levantando
los cuatro laterales de la caja. Calcular:
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a) Las dimensiones de la caja para que tenga el mayor
volumen posible. (8 puntos) b) Dicho volumen.
(2 puntos) |
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Problema 7. Una
empresa tiene 3 máquinas de fabricación de latas de refresco. El 10´25% de las
latas que fabrica la empresa son defectuosas. El 30% de las latas las fabrica
en la primera máquina, siendo el 10% defectuosas. El 25% de las latas las
fabrica en la segunda máquina, siendo el 5% defectuosas. El resto de las latas
las fabrica en la tercera máquina.
a)
¿Cuál es la
probabilidad de que una lata fabricada por la tercera máquina sea defectuosa? (4
puntos)
b)
Si se escoge una
lata al azar y no es defectuosa, ¿Cuál es la probabilidad de que proceda de la
primera máquina? (3 puntos)
c)
Si se escoge una
lata al azar y es defectuosa ¿Cuál es la probabilidad de que no haya sido
fabricada en la segunda máquina? (3 puntos)
Problema 8. Se ha determinado que en el 60% de los mensajes
enviados por WhatsApp se añade un emoticono. Una persona envía diez mensajes de
WhatsApp. Se pide la probabilidad de que:
a)
Ningún mensaje de
los diez tenga emoticonos. (3 puntos)
b)
Exactamente dos
quintas partes de los mensajes tengan emoticonos. (3
puntos)
c)
Ocho o más
mensajes tengan emoticonos. (4 puntos)
Los resultados han de
expresarse en forma de fracción o en forma decimal con cuatro decimales de
aproximación.